Непрерывность ретракции необычной деформации
Предположим, нам дана счетная цепочка топологических пространств $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ и разреши $X = \bigcup_n X_n$; и предположим далее, что для каждого$n$ у нас есть деформация ретракции $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. Я хочу построить ретракт деформации из$X$ к $X_0$ выполняя $F_n$ во временном интервале $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$, удерживая каждую точку $X_{n+1} - X_n$ стационарный вне этого интервала.
У меня проблемы с отображением непрерывности этой карты. Мы можем добиться преемственности$X \times (0,1]$ легко из леммы о вставке, но я не знаю, как распространить это на все $X \times I$, из-за странного поведения функции в начале интервала.
РЕДАКТИРОВАТЬ: только что узнал, что карта в целом не является непрерывной, поэтому позвольте $X$ быть комплексом CW и $X_n$Связанный скелет.
Ответы
В общем, это неверно, поэтому вам придется выяснить, какие дополнительные гипотезы необходимы для доказательства и верны для любого приложения, которое вы имеете в виду.
В качестве простого контрпримера возьмем $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$с топологией подпространства. А потом возьми$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$также с топологией подпространства. Каждый$X_n$ деформация втягивается в $(1,0)$, но $S^1$ не деформация втягивается в $(1,0)$.
Я выброшу одну интересную и широкую ситуацию, в которой он работает в целом, а именно, где $X$представляет собой комплекс CW. Топология CW может использоваться, чтобы показать, что непрерывное расширение до$X \times [0,1]$ существует.