Объясняя, что означает неприводимость многочлена над F
Пусть F - поле и пусть F [x] - кольцо многочленов от одного неопределенного x с коэффициентами из F. Объясните, что означает неприводимость многочлена g (x) из F [x] над F.
Я думаю так (очень важно понять это правильно):
Это означает, что многочлен степени n> = 1 с коэффициентами в Поле F называется неприводимым над F, если он не может быть записан как произведение двух непостоянных многочленов над F степени меньше n.
Достаточно, чтобы понять это правильно? Или, может быть, добавить строчку о том, что все они простые?
Ответы
Вам не нужно утверждать, что он имеет факторизацию на простые числа по крайней мере с двумя множителями, но это эквивалентно для колец многочленов.
В общем кольце элемент $r$является неприводимым , если всякий раз, когда она записывается как$r=ab$, ровно один из $a$ и $b$обратимо. Письмо$r\mid a$ если существует $b$ такой, что $r=ab$, еще один способ сказать это $r$ неприводимо, если когда-либо $a\mid r$, $r\mid a$.
Это отличается от простого, а именно: $r$является главным , если$r$ не является нулем обратимого и, когда $r\mid ab$, $r\mid a$ или же $r\mid b$.
В области целостности (с единицей) $R$, каждое простое число неприводимо, но не все неприводимые числа должны быть простыми. Чтобы увидеть, что каждое простое число неприводимо, предположим, что$r$ прост и $r=ab$. поскольку$r=ab$, конечно $r\mid ab$. Таким образом$r\mid a$ или же $r\mid b$, не теряя общий смысл $r\mid a$. Таким образом$a=rs$ для некоторых $s$, и поэтому $$ r=ab=rsb.$$ поскольку $R$ является областью целостности и $r(1-sb)=0$, Мы видим, что $sb=1$. В частности,$b$ обратима, так что $r$ неприводимо.
Кольца, в которых все неприводимые простые числа, являются уникальными областями факторизации или UFD. Это эквивалентно утверждению, что каждый элемент$r\in R$имеет факторизацию в неприводимые, и неприводимые, которые появляются в этой факторизации, уникальны с точностью до переупорядочения и умножения на обратимые элементы.
Кольца многочленов (потенциально многих переменных) над полями являются примерами UFD, поэтому для колец многочленов существует несколько потенциальных определений неприводимого.