Обозначения, описание компонентов матриц

Question

Я работаю над своей магистерской диссертацией, и мне трудно точно описать некоторые матрицы, которые сложены странным образом. Я хотел попросить помощи, чтобы здесь не наделать ошибок.

Как правило, моя матрица имеет следующие размеры

$$ \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

Эта матрица состоит из $2+2J$ переменные или массивы длиной $M$. Две переменные - это скаляры, на которые я ссылаюсь в своей диссертации:

$$ R_d \in \mathbb{R}^{1}, \quad g \in \mathbb{R}^{1} $$

Однако две другие переменные сами по себе являются массивами с$J$переменные. Они выдаются с:

$$ \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{J}, \quad \mathbf{q} \in \mathbb{R}^{J} $$

Теперь я хотел бы математически описать, как $\mathbf{X}$структурирован. Я подумал, что можно описать это так:

$$ \mathbf{X} = [Rd\; g \; \mathbf{p}\; \mathbf{q} ] \in \mathbb{R}^{M \times 2+2J} $$

Я не уверен, что это математически правильно, поскольку мне не хватает первого измерения в переменных-членах. Есть ли лучшая нотация для описания структуры$\mathbf{X}$? Что происходит, когда необходимо перевернуть размеры? Я предполагаю, что когда я перечисляю элементы в квадратных скобках, это будет относиться к первому измерению.$M$ вместо того $2 + 2J$.

Альтернативное описание может выглядеть так:

$$ \mathbf{X} = [R_{d,m}\; g_m \; \mathbf{p}_m\; \mathbf{q}_m ] \in \mathbb{R}^{2+2J \times M} $$

с участием $g_m \in \mathbb{R}^{M}$ или $\mathbf{q}_m in \mathbb{R}^{M \times J}$. (Также перевернуты размеры$\mathbf{X}$.) Будет ли это более точное обозначение?

Answer 1

То, что вы описываете, обычно называют блочной матрицей. $$ X = \bigg[ \begin{array}{c|c|c|c} P & Q & \mathbf{r} & \mathbf{g} \end{array} \bigg] $$ с матрицами $P\in{\mathbb{R}^{m\times j}}$ и $Q\in\mathbb{R}^{m\times j}$, и векторы $r\in\mathbb{R}^m$, и $g\in\mathbb{R}^m$

Если вы пишете для аудитории, которая не знакома с этой нотацией, вы можете добавить подробное, но явное:

$$ X = \left[ \begin{array}{cccc|cccc|c|c} p_{11} &p_{12} &\cdots & p_{1j} & q_{11} &q_{12} &\cdots & q_{1j} & r_1 & g_1 \\ p_{21} &p_{22} &\cdots &p_{2j} & q_{21} &q_{22} &\cdots &q_{2j} & r_2 & g_2 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mj} & q_{m1} & q_{m2} & \cdots & q_{mj} & r_m & g_m \end{array} \right] $$

Дополнительные примеры написания блочных матриц см. https://wp.kntu.ac.ir/hadizadeh/pdf/latex/lesson_12[1].pdf