Операторная норма эрмитова оператора

Question

Я хочу доказать следующий результат, упомянутый в Садри Хассани:

Первое неравенство, т. Е. $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$прямо из определения нормы оператора. Для обратного неравенства автор упомянул следующую процедуру.

Я не могу понять, как они получили неравенство, используя приведенный выше результат. Также я думаю, что результат для$4\langle Hx|y\rangle $ должен иметь $-i$ вместо того $i$ в равенстве.

Answer 1

С выбором, данным для $x$ и $y$у тебя есть это $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, поэтому равенство сводится к $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ Также, $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Затем, используя тождество параллелограмма,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}