Определение нормированного и внутреннего пространства продукта

Dec 26 2020

Я читал несколько страниц в Википедии о нормированных векторных пространствах и внутренних пространствах продукта, и в определениях всегда говорится о векторных пространствах либо$\Bbb R$ или $\Bbb C$.

Это потому, что большинство полезных нормированных и внутренних пространств продукта закончились $\Bbb R$ или $\Bbb C$ или эти пространства определены только для векторных пространств над этими конкретными полями?

Изменить: после обсуждения этой темы в комментариях к этому сообщению я хочу перефразировать свой вопрос:

Позволять $V$ быть векторным пространством над полем $\mathbb F$. Какое состояние должно$\Bbb F$ проверьте, хотим ли мы $V$быть внутренним пространством продукта? Как насчет нормированного векторного пространства?

Ответы

philip98 Jan 01 2021 at 01:02

Я считаю, что он работает с любым нормированным полем (по крайней мере, с нормированным пространством, для внутренних пространств продукта я не уверен, так как вам понадобится некоторое обобщение для комплексного сопряжения). Нормированное поле$k$ поле с нормой $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ такой, что

  • $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
  • $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
  • $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$

Если ваше поле $k$ имеет дискретную оценку $\nu$ что вы можете построить норму, определив $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ для любого положительного $a$...

В любом случае я уверен, что Бурбаки даст вам самое общее определение.

И если вы хотите ослабить условие, что норма соответствует $\mathbb{R}_{\ge0}$, Я думаю, что есть способ сделать это, просто отобразив его на какое-то полностью упорядоченное полукольцо ...