Определение умножения в кольцах [закрыто]

Question

Допустим, у меня есть кольцо $R=(\mathbb{R}, +, *)$. Является

$a+a=2*a$

($a \in \mathbb{R}$)

всегда актуально для любого кольца¹? (Так что, когда это уравнение неверно, я могу окончательно заключить, что$R$ не кольцо.)

1) Под словом «любое» я подразумеваю любое другое кольцо, которое также использует $\mathbb{R}$ как базовый набор, спасибо за ваш комментарий ник.

Answer 1

Если в вашем кольце есть единица измерения, то есть мультипликативная идентичность (и определение, которое почти все используют в наши дни https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Multiplicative_identity:_mandatory_vs._optional), тогда да.

Как отмечают комментаторы, $2$ определяется * как $1 +1$, где $1$ является мультипликативным тождеством, и поэтому это следует из закона распределения и того факта, что $1$ является мультипликативным тождеством.

Единственное, о чем следует помнить, это то, что возможно $ 2 = 0$ (например, в $\mathbb Z_2$) или возможно $2 = -1$ (например, в $\mathbb Z_3$), поэтому эти «целые числа» внутри вашего кольца могут вести себя не так, как вы ожидаете от целых чисел.

Кстати, если вы имеете дело с алгебраической структурой , которая не есть$1$, люди часто определяют "действие" $\mathbb Z$ на ваших элементах и ​​используйте умножение, чтобы обозначить его, где

$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$

Изменить: Хорошо, вы добавили «Под словом« любое »я подразумеваю любое другое кольцо, которое также использует $\mathbb{R}$ как базовый набор ", и это необходимо решить: вы можете взять базовый набор $\mathbb R$, и определим на нем новое дурацкое сложение и умножение. Самый простой - это$a \oplus b = a + b -1$ а также $a \otimes b = ab - a -b + 2$.

Воспользуемся символом $S$ чтобы обозначить это новое кольцо $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$. Тогда цифра 1 в$\mathbb R$ (который я напишу как $1_{\mathbb R}$) не является мультипликативным тождеством для кольца $S$. $1_S$, которое является стандартным обозначением мультипликативного тождества в кольце с именем $S$, на самом деле $2$, я имею в виду старые добрые 2 в старых добрых $\mathbb R$, который мы могли бы записать как $2_{\mathbb R}$, и да $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$.

Но то, что задает ваш вопрос, остается верным в $S$, т.е. $a \oplus a =2_{S} \otimes a$; однако обратите внимание, что вы должны обязательно использовать кольцевые операции$S$, и напомните себе, что вы используете $2_{S}$, который определяется как $1_{S} \oplus 1_{S}$. (И соответствует основному действительному числу$3_{\mathbb R}$!)

Кольцо $S$конечно, чрезвычайно сбивает с толку, и я никогда не видел, чтобы его использовали всерьез, только чтобы сломать мозги студентам математических специальностей, чтобы показать им, как мы можем определять группы, кольца, поля и т. д., которые ведут себя совершенно иначе, чем то, что они к этому привыкли. Т.е.$\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ - поучительная история, а не широко используемый математический инструмент, но единственное требование, которое вы поставили, - это $\mathbb R$был основным набором, поэтому вы оставили его открытым для определения действительно странного сложения и умножения. Я бы не стал тратить много времени на то, чтобы мучиться над этим, но это может быть забавным примером для размышлений и обострения вашего ума.

---

* Если кто-то использует символ "$2$"и говорит, что это не равно $1+1$, вы можете посмотреть на них забавно, спросить, какого черта они думают, что они делают, и потребовать, чтобы они объяснили, почему они используют этот символ.

Answer 2

Это в основном верно по определению, хотя есть некоторые вещи, о которых вам следует знать.

Некоторые люди требуют, чтобы любое кольцо $(R,+_R,\cdot_R)$ содержит мультипликативное тождество $1_R,$ и что гомоморфизмы колец $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ удовлетворить $f(1_R) = 1_S.$ Если вам требуется это условие, то для любого кольца $(R,+_R,\cdot_R)$ существует единственный гомоморфизм колец $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ В этом случае, даже если набор $R$ буквально не содержит $2,$ вы можете подумать о $i_R(2)\in R$ как быть $2$ (вы даже можете написать $i_R(2) = 2_R$). Это правда, что для любого$r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ так как $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ Поскольку JonathanZ поддерживает примечания MonicaC, возможно, $i_R(2)$ведет себя не так, как вы ожидаете, или выглядит иначе, чем вы ожидаете. Может быть что$i_R(2) = -1_R$ или даже $i_R(2) = 0_R$! См. Последний абзац, чтобы увидеть особенно вопиющий пример этого.

Если вы не требуете, чтобы ваши кольца имели мультипликативные тождества и / или чтобы гомоморфизмы колец не отправляли мультипликативные тождества в мультипликативные тождества, то в некоторой степени это все равно верно, хотя мы должны быть осторожны с тем, что мы имеем в виду.

Позволять $(R,+_R,\cdot_R)$быть нашим, возможно, неединичным кольцом. В этом случае мы не можем использовать единственный гомоморфизм$i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$как было раньше - теперь может быть более одного гомоморфизма колец! Дополнительно набор$R$ может не содержать $2.$

Так что же нам делать? Хорошо, помните, что любое кольцо имеет основную абелеву группу$(R,+_R).$ https://math.stackexchange.com/questions/1156130/abelian-groups-and-mathbbz-modules (увидеть https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)для определения модуля над кольцом, если вы не знакомы). Это явно означает, что у нас есть действие$\Bbb{Z}$ на $R$который прекрасно взаимодействует с дополнением. Мы определяем это действие, задав $$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ Обратите внимание, что я не пишу $n\cdot_R r$ - это потому, что элемент не обязательно $n\in R$ который ведет себя как $n.$ Однако все же разумно подумать о добавлении элемента $r$ себе $n$ раз, а это то, что $n\cdot r$означает по определению. В$\cdot$ относится к действию $\Bbb{Z}$ на основной абелевой группе $(R,+_R,\cdot_R),$не умножение в самом кольце. В этом смысле равенство $$ 2\cdot r = r+r $$ всегда выполняется, и это в основном по определению!

И последнее замечание. Вы спросили, верно ли это для любого кольца, на котором$\Bbb{R}$как его базовый набор. Здесь нужно быть немного осторожнее. Рассмотрим следующую кольцевую структуру на$\Bbb{R}$: $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ Это не стандартная кольцевая структура на $\Bbb{R}$- умножение то же, но сложение "скрученное". В этом случае,$2\in \Bbb{R}$, но это неправда, что $2\cdot' r = r +' r.$ Предположим $r = 2.$ Затем: $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ С другой стороны, $$ 2\cdot'2 = 4. $$ Что случилось? Я позволю вам подумать об этом самостоятельно, прежде чем раскрыть ответ ниже!

Здесь произошло то, что $2\in\Bbb{R}$больше не играет той роли, которая была раньше. Наше кольцо$(\Bbb{R},+',\cdot')$ все еще имеет мультипликативное тождество, но наш гомоморфизм колец $i_{(\Bbb{R},+',\cdot')} : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(\Bbb{R},+',\cdot')$ сейчас отправляет $$i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(2) = i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) +' i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) = 1 +' 1 = \sqrt[3]{2}.$$Итак, есть элемент $(\Bbb{R},+',\cdot')$ который ведет себя как $2$ должен - это $\sqrt[3]{2}$. Таким образом, мы имеем$$\sqrt[3]{2}\cdot' r = r +' r$$для любой $r\in\Bbb{R}.$ Это очень сбивает с толку, потому что у нас уже есть $2\in\Bbb{R}$! В этом случае было бы очень важно различать$2\cdot r$ (который $2\in\Bbb{Z}$ действующий на $r,$ давая $r +'r$) а также $2\cdot' r$ (который, как мы подсчитали, не $r +' r$в общем). В обозначениях первого абзаца$2_{(\Bbb{R},+',\cdot')} = \sqrt[3]{2}$ а также $2\neq 2_{(\Bbb{R},+',\cdot')}$.

Чтобы быть еще более ясным о том, что произошло, с учетом любого набора $X,$ любое кольцо $(R,+_R,\cdot_R),$ и любое взаимное соответствие $f : X\to R,$ мы можем дать $X$ структура кольца путем определения сложения на $X$ от $x +_X y := f^{-1}(f(x)+_R f(y))$ а также $x\cdot_X y := f^{-1}(f(x)\cdot_R f(y)).$ Мы берем кольцевую структуру $R$ и транспортировка в $X$ через биекцию $f$: сначала возьмите свои элементы $x$ а также $y$ в $X,$ отправить их в $R$ где вы их складываете или умножаете, а затем возвращаете в $X.$ В моем примере выше я использую биекцию $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ который отправляет $x$ к $x^3.$