Отношения многочленов и производных по определенному функционалу

Question

Позволять $p(x)$ - многочлен степени $n>2$, с корнями $x_1,x_2,\dots,x_n$(включая кратности). Позволять$m$быть положительным четным целым числом. Определите следующее сопоставление$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

ВОПРОС. Для$\deg p(x)=n>2$ а также $p'(x)$ его производная, вы можете выразить $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ как функция $m$ а также $n$ один?

Замечание. На основании вопросов Федора я только что вычислил (не доказал), что$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

Здесь код SageMath, который обеспечивает V(m)вычисление функции$V_m(p)$ в терминах элементарных симметричных функций от $x_1,\dots,x_n$ (т.е. коэффициенты $p$).

Например, если $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, тогда $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ и так далее.

Из этих выражений следует доказательство $m=2$следует немедленно. Однако для большего$m$ Соотношение $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ не является функцией $n$, который я проверил с помощью вычислений для $m$ вплоть до $20$.

Answer 2

Если бы это было правдой, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ также будет зависеть только от $m$ а также $n=\deg p$и так далее, пока не получим $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. У нас есть$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Итак, если бы это было правдой, у нас было бы $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. Это уже неверно для$n=m=4$: если все корни $p$ нули и единицы, мы имеем $V_4=V_2$, но $V_2^2/V_4=V_2$ не фиксируется.