Отображение нормированного векторного пространства - это прямая сумма замкнутого подпространства и одномерного подпространства.

Question

Ниже приводится упражнение 7 из главы IV Банаховы пространства в действительном и функциональном анализе Лэнга:

Позволять $F$ - замкнутое подпространство нормированного векторного пространства $E$, и разреши $v\in E, v\notin F$. Покажи то$F+ \Bbb{R}v$закрыто. Если$E=F+ \Bbb{R}v$, покажи то $E$ прямая сумма $F$ и $\Bbb Rv$ (имеется в виду карта $\phi(f,rv)= f+rv$ является топлинейным изоморфизмом из $F\times \Bbb Rv$ к $E$, т.е. гомеоморфизм и изоморфизм).

Я могу доказать $F+ \Bbb{R}v$ закрывается, глядя на фактор-пространство $E/F$. Как образ$F+ \Bbb{R}v$ под факторной картой $\rho$ гомеоморфен $\Bbb R$, он автоматически закрывается в $E/F$, прообраз которой замкнут в $E$ по преемственности $\rho$. Но$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$, тем самым доказывая близость $F+ \Bbb{R}v$. Но я зацикливаюсь на последнем утверждении. Достаточно показать, что$\phi$ это открытая карта, которая показывает $U_1+U_2$ открыто, если $U_1$ и $U_2$ открытые подмножества $F$ и $\Bbb Rv$соответственно. Ланг упоминает, что это простое следствие теоремы об открытом отображении, которая является более общим результатом. Однако не предполагает ли это полноту$E$? Я пытаюсь использовать технику частного пространства, но, похоже, здесь это не применимо, поскольку$U_1+U_2$не нужно насыщать. Как мне продолжить? Заранее спасибо.

Answer 1

Позволять $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ определяться $\phi(f,rv):=f+rv$.

Он непрерывен, поскольку представляет собой композицию сложения и скалярного умножения. Он явно линейный. Это по гипотезе, и один-один, поскольку$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$

Следовательно $\phi$ обратима, и остается показать $f+rv\mapsto(f,rv)$ непрерывно.

По теореме Хана-Банаха, поскольку $F$ замкнуто, существует непрерывный функционал $\psi$ единичной нормы такая, что $\psi F=0$ но $\psi(v)=t\ne0$. Позволять$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. потом$\pi$ это непрерывная проекция с изображением $\mathbb{R}v$ и ядро $F$, то есть \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} Это следует из того $E=F\oplus\mathbb{R}v$.