отображение включения в гладком многообразии

Aug 20 2020

Для данного гладкого многообразия $M$ и это подмногообразие $S$(например, открытое подмножество $M$) имеем карту включения $i:S\to M$.

И мы лечим $i$ в виде $i(x) = x$ как правило.

Например $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ действительно для определения $i(x) = x$ Но вроде не например включение $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ в виде $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$

Так что я немного запутался, какое определение здесь нужно включить? Следует ли рассматривать его как $i(x) = x$?

Является ли это "включение" топологическим вложением по умолчанию или нет?

Я нашел здесь объяснение

Ответы

1 VeryConfused Aug 20 2020 at 16:10

На самом деле есть более глубокие тонкости: понятие подмногообразия может вызвать много путаницы: вы хотите, чтобы подмногообразие было погруженным, вы хотите, чтобы оно было встроенным подмногообразием?

Погружают Подмногообразие $S$ многообразия $M$- образ многообразия при погружении. Погружения являются гладким отображением с инъективной производной.

Вложение - это топологическое вложение , т. Е. Гомеоморфизм на свой образ (относительно топологии подпространства), который также является инъективным погружением.

Примечание! Погружения не обязательно инъективны, как и топологические вложения!

yili Aug 24 2020 at 14:53

карта включения всегда определяется как $i(x) = x$ .

причина, по которой мы звоним $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ карта включения находится в координатном представлении, но для вложенного подмногообразия $S\subset M$. Включение$i(x) = x$

Когда мы говорим о гладком многообразии, мы не должны предполагать, что отображение включения является топологическим вложением.

Если $S\subset M$ как гладкое погруженное подмногообразие, и $S$ имеет топологию подпространства, можно считать $i$ как топологическое вложение