Ожидание $\int_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s$ [дубликат]

Question

Я пытаюсь рассчитать ожидание

$$\int\limits_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s,$$

где $(W_t)$ это винеровский процесс.

Мне сказали, что ценность этого ожидания равна нулю. Может кто-нибудь дать подсказку, почему это будет ноль?

Answer 1

По построению интеграл Ито, $I_t=\int_0^t X_s\text{d}W_s$, является мартингалом, если $\int_0^t \mathbb{E}[X_s^2]\text{d}s<\infty$.

Мартингейл собственности, $\mathbb{E}_s[I_t]=I_s$ подразумевает $\mathbb{E}[I_t]=I_0=0$.

Потому что $W_s\overset{d}{=}\sqrt{s}Z$, где $Z\sim N(0,1)$у нас действительно есть \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &= \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}\frac{1}{(1+sz^2)^2}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s \\ &\leq \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s\\ &=\int_0^t1\text{d}s \\ &=t<\infty. \end{align*}

@NHN предлагает использовать приведенный выше аргумент,$\frac{1}{(1+x^2)^2}\leq1$ для всех $x\in\mathbb{R}$, чтобы напрямую получить \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &\leq \int_0^t\mathbb{E}\left[1\right]=t<\infty. \end{align*}