Передаточная функция фильтра: в чем моя ошибка?

Question

Итак, я пытаюсь вывести передаточную функцию следующей схемы:

с участием $$R_L=3R$$

Итак, я попытался рассматривать схему как 3 каскадных блока, получив следующие передаточные функции:

$$\frac{V_{o1}(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+sCR}$$ $$\frac{V_{o2}(s)}{V_{o1}(s)}=\frac{1}{1+sCR}$$ $$\frac{V_{o}(s)}{V_{o2}(s)}=\frac{3R}{4R+s3CR^2}$$

Затем, чтобы получить передаточную функцию, я умножаю на 3, получая:

$$\frac{V_{o1}(s)}{V_i(s)}=\frac{3R}{3C^3R^4s^3+10C^2R^3s^2+11CR^2s+4R}$$

И в канонической форме:

$$\frac{V_{o}(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{R^3C^3}}{s^3+\frac{10}{3RC}s^2+\frac{11}{3R^2C^2}s+\frac{4}{3R^3C^3}}$$

Однако моя книга вместо этого получает этот ответ

$$\frac{V_{o}(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{R^3C^3}}{s^3+\frac{16}{3RC}s^2+\frac{22}{3R^2C^2}s+\frac{2}{R^3C^3}}$$

Так что я мог сделать какую-то ошибку с коэффициентами в исходной передаточной функции. Я уже переделывал это несколько раз и не могу найти свою ошибку. Может кто-то мне помочь, пожалуйста?

Answer 1

Кажется, вы считаете, что каждый из фильтров нижних частот будет независимым, и их каскадирование будет таким, как если бы

$$ \frac{V_{o}(s)}{V_i(s)} = \frac{V_{o1}(s)}{V_i(s)} \frac{V_{o2}(s)}{V_{o1}(s)} \frac{V_{o}(s)}{V_{o2}(s)} $$

Но если у вас нет буферов между каждым этапом, у вас нет этих индивидуальных $$ \frac{V_{o1}(s)}{V_i(s)}, \frac{V_{o2}(s)}{V_{o1}(s)}, \frac{V_{o}(s)}{V_{o2}(s)}. $$

Возьмем, к примеру, эти фильтры верхних частот и резистор, по отдельности они имеют некоторую ТФ. Но в сочетании у них нет продукта этих двух ТФ.