Перемещение внешнего дифференциала / дифференциала внутри продукта клина
Предположения : Пусть$M$ быть гладким $m$-многообразие. (При необходимости: пусть$M$быть ориентированным, а затем ориентированным. Позволять$M$быть компактным. Позволять$(M,g)$ - риманово многообразие.)
Позволять $\Omega^jM$ быть набором гладких $k$-форма на $M$, для $j=0, 1, ..., m$. Позволять$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$ быть внешним дифференциалом / производной на $\Omega^jM$ (на основе $d: \Omega(M) \to \Omega(M)$, с участием $\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$).
Позволять $k \in \{0, 1, ..., m\}$. Позволять$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$.
Наблюдения :
- $d_k \alpha \wedge \gamma$ гладкая верхняя форма (также известная как гладкая $m$-форма)
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$ гладкая верхняя форма (также известная как гладкая $m$-форма)
Вопрос 1 : если предположить, что вышеприведенные наблюдения верны, равны ли они?
Вопрос 2 : В общем, можем ли мы просто переместить внешний дифференциал / производную через произведения клина и просто умножить$(-1)^{\text{something}}$?
Вопрос 3 : предполагаем ли мы какие-либо дополнительные сведения о$M$ как ориентированный / ориентированный / компактный / римановский?
Вопрос 4 : Если нет на вопрос 1, то имеет ли каждая из двух форм по крайней мере равные интегралы, то есть значения, которые мы получаем, когда вставляем каждую из них в$\int_M$равны? Здесь мы теперь предполагаем$M$ ориентируемый, а затем ориентированный и, я полагаю, компактный (в противном случае, я думаю, мы должны предположить, что формы имеют компактную опору или что-то в этом роде).
Контекст : это происходит из некоторых определений и предложений, ведущих к теореме разложения Ходжа, включая определение звездного оператора Ходжа, но я пытаюсь понять, правильно ли я понимаю части, не относящиеся к Ходжу. ($\gamma$ на самом деле изображение некоторых $\beta \in \Omega^{k+1}M$ под оператором звезды Ходжа.)
Ответы
Вот попытка ответа.
Вопрос 1 В таком равенстве нет необходимости. Что правда, так это то, что$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
И если предположить, что ваше равенство истинно, это приведет к предположению о $d(\alpha\wedge\gamma)$
Вот конкретный контрпример: \begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
На вопрос 2 ответ - нет. См. Выше.
Вопрос 3 выше, вычисления являются локальными, поэтому они не зависят от компактности или ориентируемости: расширить контрпример на ноль за пределы карты.
На вопрос 4 ответ по-прежнему отрицательный: в контрпримере выше$d\alpha\wedge \gamma = 0$, таким образом, имеет нулевой интеграл, но $\alpha\wedge d\gamma$ является формой объема на ориентируемом многообразии, имеет ненулевой интеграл.
Что касается ответа @JanBohr (который приводит к двум самореференционным ответам), я должен добавить это на случай $M$ ориентировано, то теорема Стокса утверждает, что $$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$ и поэтому, $$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$ и, таким образом, равенство (с точностью до знака) наступает, как только $M$ не имеет границ или $\alpha\wedge \gamma$ равен нулю на $\partial M$.
Одним из определяющих свойств внешнего дифференциала является правило Лейбница $$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$ где $k$ степень $\alpha$, см. например, в Википедии . Это верно для произвольных гладких многообразий, не требующих римановой метрики или ориентации. В виде$k$ а также $k^2$ имеют одинаковую четность, правая сторона на предыдущем дисплее - это в точности разница между вашими двумя $m$-форм. В частности, они равны тогда и только тогда, когда$\alpha \wedge \gamma$закрыто. Интеграл по обоим$m$-формирует, скажем, если $M$ ориентировано и компактно, то же самое только потому, что интеграл точной формы равен нулю по теореме Стокса.
Что касается контрпримера @DIdier_ на вопрос 4: это ситуация, когда граничный интеграл в теореме Стокса не обращается в нуль (для любой гладкой области в $\mathbb{R}^n$). Выше я избегаю этой проблемы, предполагая$M$быть безграничным. Другой выход - предположить, что$\alpha $ а также $\gamma$ имеют компактную опору в интерьере.