$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ и умножение на $2$

Aug 16 2020

Я хочу вычислить фундаментальную группу реальной проективной плоскости $\text{P}^2(\mathbb{R})$ используя теорему SVK.

С этой целью я предпочитаю моделировать $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ как единичный диск $\{x:\|x\|\leq 1\}$ в $\mathbb{R}^2$ факторизован путем определения точек-противоположностей, лежащих на границе.

я беру

  • $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
  • $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, где $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
  • $A\cap B$

которые все связаны между собой.

Теперь исправим точку $x_0 \in A\cap B.$

$A$ может быть преобразован деформацией в $S^1$, так что $A \approx S^1$ и $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ Опровержение $r_A:A \to S^1$ индуцирует изоморфизм $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ который дается $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ для каждого цикла $\lambda$ в $A.$

Если я позвоню $c$ цикл, соответствующий $1 \in \mathbb{Z}$ при изоморфизме выполняется равенство $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; деформация, дающая путь$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ из $x_0$ к $r(x_0),$ также дает представление $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $, где теперь мы можем видеть генератор как цикл с конечными точками $x_0$ вместо $r(x_0).$

С другой стороны, $B$ может быть заключен договор с $\{x_0\},$ так $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$

Наконец, выбирая другой круг $S^1_{x_0}$ проходя через $x_0$, Я отказываюсь $A \cap B$ к этому, чтобы $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$

Включение $A \cap B \subset B$ вызывает морфизм $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ которая может быть только тривиальной картой, отправляющей все на постоянный путь в $x_0.$

Далее включение $A \cap B \subset A$ индуцирует морфизм групп $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ данный $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ для каждого цикла $\ell$ в $A \cap B$ с конечными точками $x_0.$

Я хочу понять, как доказать, что карта $a_*$ как определено выше, должно быть умножением на два $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$

Ответы

2 ggeolier Aug 16 2020 at 21:04

Морфизм $a_*$ берет петлю $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ и отправляет его в соответствующий цикл в $\pi_1(A,x_0),$ которое, поскольку отображение индуцировано включением, просто $[\ell]_A$, (т.е. $\ell$ по модулю гомотопии в $A$).

Теперь мы видим $[\ell]_A$ внутри $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ через изоморфизм $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$, и у нас есть $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ потому что на границе идентифицируются антиподальные точки, и поэтому мы дважды обходим внешний круг, как $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (здесь классы эквивалентности точек в $S^1$).

Возвращаясь к $\pi_1(A,x_0)$ мы получили $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ и делаем вывод.

1 MaximeRamzi Aug 16 2020 at 20:48

Позволять $i:S^1\to D^2$ - включение границы и $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ каноническая проекция.

В частности, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ факторы через $\partial$ (и таким образом через $A$, но включение $\partial \to A$- гомотопическая эквивалентность); давай позвоним$\alpha :S^1\to\partial$ карту мы получаем.

Мы знаем это $\partial \cong S^1$Итак, что это за карта $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ?

Итак, у вас есть следующая коммутативная диаграмма:

$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$

где карта $\partial \to P^2(\mathbb R)$это включение. Если мы определим$\partial \cong S^1$, карта $S^1\to S^1$ просто $z\mapsto z^2$: это явное вычисление, которое вы можете сделать. Возможно, проще определить$\partial$ таким образом, и убедитесь, что вы получаете то же самое.

Я думаю, что это могло быть основным моментом, который вам был непонятен, поэтому, если это все еще не так, не стесняйтесь сказать мне.

В частности, $\alpha_*=$ умножение на $2$.

Но и, $i$ гомотопно включению $S^1$ на меньшем круге в $D^2$, и поэтому $p\circ i$ гомотопен гомеоморфизму $S^1\to S^1_{x_0}$.

Итак, у вас есть следующая гомотопическая коммутативная диаграмма:

$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$

Принимая $\pi_1$, поскольку $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ является изоморфизмом и $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ это умножение на $2$, мы наконец получили это $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ это умножение на $2$.

(технически вам, возможно, придется беспокоиться об исходных точках: здесь есть как минимум два способа справиться с этим: 1- обратите внимание, что все задействованные фундаментальные группы абелевы, и поэтому это ничего не меняет; или 2- сделайте то же самое рассуждение но с фундаментальными группоидами, и в конце концов все исправят)

PedroTamaroff Aug 16 2020 at 18:03

Основная идея заключается в следующем, я думаю, что проведу доказательство, подобное вашему, так что терпите меня.

Как и вы, рассмотрите проективную плоскость $X$ и возьми точку $x_0$в этом. потом$U = X\smallsetminus x_0$ деформация втягивается в сферу.

Возьми маленький мяч $V$ вокруг $x_0$, так что $V\cap U$ также деформация втягивается в сферу.

Теперь для $V\cap U$, вы не определите никаких граничных точек, но в $U$, на граничной сфере вы их идентифицируете. Из этого следует, что вы можете сформировать коммутативную диаграмму

$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$

где вертикальная карта имеет степень $2$. По сути, он отправит цикл генерации в$U\cap V$который оборачивается один раз вокруг границы, до одного, который дважды оборачивается вокруг границы$U$, так как там вы найдете противоположные точки.

Добавить. Если вы хотите быть более точным, обратите внимание, что цикл генерации для$U$ можно принять за петлю в единичном диске, которая рисует полумесяц, идущий от $-1$ к $1$ на почти прямой линии без начала координат, а затем через дугу. Это позволяет легко увидеть, что порождающий цикл для $U\cap V$ будет представлять дважды предыдущий цикл в $U$.