Плотное подмножество для каждого из двух банаховых множеств соответственно

Question

Позволять $A$ и $B$- банаховы пространства со своими (возможно, разными) нормами. Также есть непустое подмножество$S \subset A \cap B$ такой, что $S$ плотно в $A$ и $B$ соответственно.

Тогда для $x \in A\cap B$, всегда ли можно извлечь последовательность $\{s_n\} \subset S$ такой, что $s_n \to x$ в $A$ и $s_n \to x$ в $B$?

Этот вопрос обобщен из ситуации $A = L^1(\mathbb{R}^n)$, $B = L^2(\mathbb{R}^n)$ и $S = \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, и в этом случае мы можем найти последовательность, удовлетворяющую указанным выше условиям.

Буду признателен, если вы мне поможете!

Answer 1

Вот мой предполагаемый контрпример. Он вдохновлен рассмотрением двойственного примера, приведенного в теореме 2 книгиhttp://faculty.missouri.edu/~stephen/preprints/interpolate.html.

Позволять $$ Z = L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]). $$ Позволять $A$, $B$ быть подпространствами $Z$ такие, что следующие нормы конечны: $$ {\|(f,g,h)\|}_{A} = {\|f-g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty ,$$ $$ {\|(f,g,h)\|}_{B} = {\|f-h\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_1 .$$ Оба пространства изоморфны $L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^1([0,1])$, поэтому они являются банаховыми пространствами.

Мы можем вычислить, что $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} := \max\{{\|(f,g,h)\|}_{A},{\|(f,g,h)\|}_{B}\}\approx {\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty ,$$ потому как $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} \le {\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B} \le 3 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) ,$$ и \begin{align} {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} &\ge \tfrac12({\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B}) \\&\ge \tfrac14{\|f-g\|}_\infty + \tfrac14{\|f-h\|}_\infty + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|g\|}_\infty) + \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|h\|}_\infty) + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) .\end{align} Следовательно $$ A \cap B = L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) .$$ Позволять $$ S = C([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]). $$ Ясно $S$ не плотно в $A \cap B$. Мы показываем$S$ плотно в $A$, как аргумент в пользу $S$ плотный в $B$ по сути идентичен.

Предположим $x = (f,g,h) \in A$ с участием ${\|x\|}_A \le 1$, то есть, $$ {\|(f,g,h)\|}_A = {\|f - g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty \le 1.$$ Обратите внимание, что $f-g\in L^\infty \subset L^1$, и $g\in L^1$, что означает $f \in L^1$. Позволять$f_n \in C([0,1])$ быть таким, чтобы ${\|f-f_n\|}_1 \to 0$. Набор$$ s_n = (f_n, g - f + f_n,h) .$$ Запись $g - f + f_n = (g-f) + f_n \in L^\infty([0,1])$, так $s_n \in S$. Тогда как$n \to \infty$, $$ {\|x - s_n\|}_A = {\|(f-f_n, f-f_n, 0)\|}_A = {\|f-f_n\|}_1 \to 0. $$