Плотность гауссовских простых чисел внутри последовательных дисков с центром вдоль действительной оси комплексной плоскости

Question

Определим семейство последовательных подмножеств $\mathbb{N}$: $$S_n =\{x \in \mathbb{N}\,:\,|x-n^2|\le n\}$$ С предыдущим определением мы имеем, что $$U_n=\bigcup_{k=1}^n S_k=\{x \in \mathbb{N}\,:\,0\le x \le n^2+n\}$$ а также $$\pi(U_n)\sim\frac{n^2}{2\log n}$$ пока $$\pi(S_n)\sim\pi(U_n)-\pi(U_{n-1})\sim\frac{n}{\log n}$$ Следовательно, плотность простых чисел в $S_n$ дан кем-то: $$\rho_n=\frac{\pi(S_n)}{2n}\sim \frac{1}{2\log n}$$ Теперь давайте расширим все предыдущие аргументы на комплексную плоскость: $$D_n =\{z \in \mathbb{C}\,:\,|z-n^2|\le n\}$$ $$V_n=\bigcup_{k=1}^n D_k$$

Если мы укажем с помощью $\pi_G(X)$ количество гауссовских простых чисел внутри подмножества $X$ из $\mathbb{C}$численное исследование показывает, что $$\pi_G(V_n)\sim\frac{n^3}{3\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ пока $$\pi_G(D_n)\sim\pi_G(V_n)-\pi_G(V_{n-1})\sim\frac{n^2}{\log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ Таким образом, плотность гауссовских простых чисел в $D_n$ дан кем-то: $$\rho_n^G\sim\frac{\pi_G(D_n)}{\pi n^2}\sim \frac{1}{\pi \log n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

Я был бы признателен за любое предложение о теоретической проверке асимптотического поведения (1), (2), (3).

Answer 1

То, что вы наблюдаете, можно объяснить эвристически, основываясь на гипотезе Римана для дзета-функции Дедекинда $\mathbb{Q}(i)$, и ожидание того, что $D_n$ не слишком особенная подобласть кольца $$A_n:=\{z\in\mathbb{C}:n^2-n\leq|z|\leq n^2+n\}.$$

Действительно, если предположить гипотезу Римана для $\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, получаем, что плотность простых гауссовских чисел в $A_n\cap\mathbb{Z}[i]$ является $$\sim \frac{4((n^2+n)^2-(n^2-n)^2)/\log n^4}{\text{area of $A_n$}}=\frac{1}{\pi\log n}.$$ Фактор $4$ размер группы единиц $(\mathbb{Z}[i])^\times$. Возможно, этот результат уже следует из доказанной теоремы о нулевой плотности для$\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$, поскольку аналогичный результат для рациональных простых чисел является старым результатом Ингама . Во всяком случае, абсолютные значения$z\in D_n$ варьироваться между $n^2-n$ а также $n^2+n$, и они не слишком сконцентрированы вокруг $n^2$, поэтому разумно ожидать, что плотность гауссовских простых чисел в $D_n\cap\mathbb{Z}[i]$ асимптотически такая же, как в $A_n\cap\mathbb{Z}[i]$; это то, что ты$(3)$записи. Заявления$(1)$ а также $(2)$ легко следовать из $(3)$. Доказательство$(3)$ кажется нетривиальным даже при гипотезе Римана для $\zeta_{\mathbb{Q}(i)}$; но, опять же, для этой цели может быть достаточно известных теорем о нулевой плотности.