Плотность и распределения численно или аналитически ИЗВЕСТНЫХ решений Римана $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Question

Мы знаем, что гипотеза о гипотезе Римана заключается в том, что нетривиальные нули находятся на $$(1/2 + r i)$$ для некоторых $r \in \mathbb{R}$ дзета-функции Римана.

Мой вопрос заключается в том, сколько известно о плотности и распределении этих численно или аналитически ИЗВЕСТНЫХ решений$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

Я нашел связанный пост, но это было около 8 лет назад, так что, может быть, у нас есть лучшее обновление?

Средняя плотность нетривиальных нулей дзета-функции Римана

Answer 1

По моему скромному мнению, ключевая статья - это статья, опубликованная за год. $2014$по G.Franca и A.LeClair . В частности, они обеспечивают очень хорошее и простое приближение (уравнение$(229)$ в связанной статье). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ где $W(.)$ - функция Ламберта;

Повторяя некоторые свои вычисления для $n=10^k$, у нас есть $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

Answer 2

Вывод в системе Mathematica 8.0.1 аппроксимации Эрика Вайсштейна для точек Грама:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Модифицированный вывод в системе Mathematica 8.0.1 приближения Эрика Вайсштейна, дающий точки Франка-Леклера:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

Основная трудность получения точной асимптотики дзета-нулей Римана состоит в том, что тета-функция Римана-Зигеля необратима. Воссоединения пользователей указали мне, что точная асимптотика для дзета-нулей Римана была известна около 120 лет, а точная асимптотика - это функциональная инверсия тета-функции Римана-Зигеля, согласно французской Википедии.