Почему это не показывает, что арифметика Пеано первого порядка непротиворечива?
НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. Логика предикатов последовательна и полна. Другими словами, (i) для замкнутой формулы$F$ в исчислении предикатов с равенством и функциями, $\vdash F$ если и только если $\,\vDash F$ (где $\vDash F$ средства $F$ верно при стандартной интерпретации логических констант для любого присваивания предикатов и функций, встречающихся в $F$). Кроме того, (ii) если$\,\vdash F$ в арифметике первого порядка, то для некоторой конечной последовательности формул $\Gamma$ (где $\Gamma$ - замкнутые аксиомы арифметики Пеано), $\Gamma \vdash F$ в исчислении предикатов с равенством и функциями.
Теперь вот мой аргумент, где я сделал ошибку. Предположим$\vdash F$в арифметике первого порядка. Тогда согласно (ii),$\Gamma \vdash F$в логике предикатов. Таким образом$\vdash \Gamma' \rightarrow F$ (где формула $\Gamma'$ является конъюнкцией формул в $\Gamma$). По (i),$\vDash \Gamma' \rightarrow F$. Затем в стандартной модели арифметики (и во всех других моделях)$\Gamma' \rightarrow F$истинное утверждение согласно интерпретации. А в интуитивной теории чисел утверждение$\Gamma'$Верно в стандартной модели. Таким образом, интуитивно$F$должно быть правдой. Следовательно, если$F$доказуемо в арифметике первого порядка, тогда оно истинно интуитивно. Тогда, если арифметика первого порядка противоречила, пропорции$0=0$ и $0\neq0$было бы доказуемо и, следовательно, оба верны в стандартной модели, что абсурдно. Следовательно, формальная система должна быть последовательной.
Это вообще веский аргумент? Это сильный аргумент или это скорее эвристический аргумент, потому что он обращается к нефинитарным методам? Является ли он круговым, потому что основан на непротиворечивости интуитивной теории чисел? Более того, если этот аргумент неверен, зачем мы формализуем теорию чисел, если мы не можем знать, что теоремы обязательно верны?
Ответы
Дело в том, что $\mathbb{N}$ представляет собой модель арифметики Пеано первого порядка (далее просто арифметика Пеано), достаточная для демонстрации непротиворечивости арифметики Пеано.
Однако то, что мы умеем говорить о наборе $\mathbb{N}$и то, как она «моделирует» арифметику, предполагает, что мы работаем с теорией множеств (такой как ZF) как с нашей мета-теорией (или, по крайней мере, с какой-то более сильной мета-теорией, чем арифметика Пеано). Таким образом, мы доказываем непротиворечивость арифметики Пеано в даже более сильной теории, чем арифметика Пеано (которая сама по себе может быть противоречивой).
Мы не можем доказать непротиворечивость арифметики Пеано внутри самой арифметики Пеано (если только арифметика Пеано на самом деле непоследовательна, и в этом случае у нас есть гораздо более серьезные проблемы). Это следует из теоремы Гёделя о неполноте.
По сути, тот факт, что арифметика Пеано непротиворечива, может рассматриваться как само собой разумеющееся с философской точки зрения, как и любое утверждение, доказанное в ZF.