Почему каждый $|X\rangle\in H_1\otimes H_0$ быть написано как $|X\rangle=(X\otimes I_{H_0})|\Omega \rangle$ для некоторых $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$?
В теории квантовых сетей доказано, что линейное отображение$\mathcal{M} \in \mathcal{L}(\mathcal{H_0},\mathcal{H_1})$ является CP (полностью положительным) тогда и только тогда, когда его оператор Чоя $M$полуопределенно положительно. Что-то меня смущает в этом выводе.
Во-первых, несколько напоминаний об определениях.
Позволять $X \in \mathcal{L}(H_0,H_1)$, позволять $\{|i \rangle \}_i$ быть ортонормированным базисом $H_0$, у нас есть:
$$ | \mathcal{I} \rangle \rangle \equiv \sum_i |ii \rangle$$ $$|X \rangle \rangle \equiv (X \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$$
Оператор Чоя определяется как:
$$ M = \mathcal{M} \otimes \mathcal{I}_{H_0} | \mathcal{I} \rangle \rangle \langle \langle \mathcal{I} |$$
В своем доказательстве он предполагает $M \geq 0$ цель - показать, что это подразумевает $\mathcal{M}$ это CP.
$M$полуопределенный положительный, что означает, что он эрмитов с положительными собственными значениями. Таким образом, его можно диагонализовать. С участием$\lambda_i \geq 0$, у нас есть:
$$ M = \sum_i \lambda_i |u_i \rangle \langle u_i |=\sum_i | K_i \rangle \langle K_i |$$
С участием $|K_i \rangle = \sqrt{\lambda_i} |u_i \rangle$
Но он, кажется, "автоматически" считает, что $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Я этого не понимаю. Зачем нам обязательно иметь$|K_i \rangle = (K_i \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Это очень частный случай. Почему состояние можно записать как локальную операцию, действующую на максимально запутанное состояние?
Я очень смутно помню, что любое квантовое состояние можно записать как $(K \otimes \mathbb{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Другими словами, всегда существует линейная операция$K$ (конечно, не обязательно унитарно), так что любой вектор в $H_1 \otimes H_0$ можно записать как $K \otimes \mathcal{I} | \mathcal{I} \rangle \rangle$Думаю, это решит проблему. Но я не могу найти источник этого и могу совершенно ошибаться.
В конце концов, зачем писать: $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Я хотел бы получить доказательства этого (и если свойство, о котором я только что говорил, удерживается, мне нужна ссылка на ссылку, выражающую это, или доказательство этого также в ответе)
Ответы
Позволять $K$ быть вектором $$ |K\rangle=\sum_{ij}K_{ij}|i,j\rangle. $$ Мы могли бы переписать этот ИАС $$ |K\rangle=\left(\left(\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|\right)|j\rangle\right)\otimes|j\rangle, $$ и это то же самое, что и $$ |K\rangle=K\otimes 1\sum_j|j,j\rangle=|K\rangle\rangle $$ если мы определим матрицу $K$ быть $K=\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|$.
Вы уже определили матрицу Чоя как $M = \rho_{\mathrm{Choi}} = \left(\mathcal{M}\otimes I\right)(|\mathcal{I}\rangle\rangle\langle\langle\mathcal{I}||)$. Я запишу максимально запутанное состояние как$|\mathcal{\Omega}\rangle$ потому что для меня он лучше читается, и я к нему привык.
Вы уже указали, что $M$ положительно-полуопределенное значение означает, что мы можем выполнить вещественное спектральное разложение:
$$ M = \sum_{i}\lambda_{i}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| \sqrt{\lambda_{i}}. $$ Мы можем разложить эти $\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle$в тензорное произведение базиса для обеих копий гильбертовых пространств: $$ \sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle = \sum_{l}|a^{i}_{l}\rangle \otimes |b^{i}_{l}\rangle, $$
что означает, что мы можем написать: \ begin {уравнение} \ begin {split} M = & \ sum_ {i} \ lambda_ {i} | u_ {i} \ rangle \ langle u_ {i} | = \ sum_ {i} \ sum_ {l} \ sum_ {m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {м} | \ otimes \ langle b ^ {i} _ {m} | \\ = & \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} |. \ end {split} \ end {уравнение}
Как вы, возможно, хорошо знаете, мы можем записать «вывод» карты $\mathcal{M}$ на "ввод" $\rho_{\mathrm{in}}$, что, таким образом, $\rho_{\mathrm{out}} = \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right)$, в терминах матрицы Чоя $M$:
$$ \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right) = d \mathrm{tr}_{2}\big[M\left(I \otimes \rho_{\mathrm{in}}^{T}\right)\big], $$ где след - это частичный след по второй подсистеме, а $T$ верхний индекс означает транспонирование.
Теперь мы подключаем наше приведенное выше разложение для $M$: \ begin {уравнение} \ begin {split} \ mathcal {M} \ left (\ rho _ {\ mathrm {in}} \ right) & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [M \ left ( I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [\ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ left (I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} \ mathrm {tr} _ {2} \ big [| a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {м} | \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} | b ^ {i} _ {l} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \\ & = \ sum_ {i} A_ {i} \ rho _ {\ mathrm {in}} A_ {i} ^ {\ dagger}, \ end {split} \ end {формула} с$A_{i} = \sum_{l}\sqrt{d} |a^{i}_{l}\rangle \langle b^{*i}_{l}|$. Это просто разложение Крауса, которого достаточно для$\mathcal{M}$ будучи CP.
Позволять $\newcommand{\kett}[1]{\lvert #1\rangle\!\rangle}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}\ket m\equiv \sum_k \ket{k,k}$ обозначают (ненормализованное) максимально запутанное состояние.
Соотношение $\kett X=(X\otimes I)\ket m$сводится к простому манипулированию индексами. Под этим я подразумеваю, что вы рассматриваете один и тот же объект, то есть один и тот же набор чисел, но интерпретируете его по-разному (как оператор, а не как вектор).
Чтобы увидеть это, позвольте $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$ - ваш оператор, матричные элементы которого (при некотором выборе базиса) запишем как $X_{ij}$. Обратите внимание, что вы можете понять$X_{ij}$ как оператор ("отправка индекса $j$ к индексу $i$"), или как вектор в$H_0\otimes H_1$. Более формально, если мы напишем с$\kett X$ "векторная интерпретация" $X$, у нас есть $$\langle i,j\kett X = X_{ij} =\langle i|X|j\rangle = \langle i,j|(X\otimes I)\ket m,$$ где мы использовали $\langle i,j|X\otimes I|k,\ell\rangle = X_{ik}\delta_{j\ell},$ и поэтому $\kett X=(X\otimes I)\ket m.$ Это также часто записывается как $\kett X=\operatorname{vec}(X)$, с участием $\operatorname{vec}:\mathrm{Lin}(\mathcal X,\mathcal Y)\to\mathcal Y\otimes\mathcal X$ операция "векторизация".