Почему количество $\mathbb{F}_q$ баллы по степени $d$ кривые $C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$ уменьшаться как $n$ увеличивается?
Этот вопрос касается некоторых противоречивых результатов (по крайней мере, для меня) о количестве точек на проективной кривой над конечным полем. А именно, если фиксировать степень кривой, но увеличивать размерность окружающего проективного пространства, можно получить более жесткие ограничения на количество$\mathbb{F}_q$ точек на кривой, несмотря на большее количество $\mathbb{F}_q$точек в окружающем пространстве. Позвольте мне уточнить это на двух примерах.
Позволять $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ - проективная кривая степени $d$. Предполагать$C$ невырожден в том смысле, что не содержится ни в каком меньшем проективном пространстве $\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$, $k<n$.
Работа Homma (расширяющая работу Homma и Kim) показала $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$ за одним исключением (с точностью до изоморфизма) над $\mathbb{F}_4$. Это так называемая граница Шиклая, и она трудна для$n=2$.
Эта граница не является жесткой для $n>2$; недавно Белен и Монтануччи показали, что если$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ невырожден, то на самом деле $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$ Они также предполагают, что если бы $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$, общая оценка должна быть $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
Это напоминает явление из работы Букура и Кедлая. Например: случайная плавная кривая в$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$ ожидается, что будет $$q+1$$ указывает на $\mathbb{F}_q$по мере того, как его степень возрастает до бесконечности. Случайное полное пересечение двух гладких степеней$d$ поверхности в $\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ ожидается, что будет $$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$ указывает на $\mathbb{F}_q$, опять же как $d\to\infty$.
Эти результаты мне кажутся противоречащими интуиции, поскольку количество точек в окружающем проективном пространстве растет (экспоненциально) по мере того, как $n$делает, поэтому, в частности, мне кажется, что кривым должно быть легче иметь$\mathbb{F}_q$указывает на то, что они вложены в большие проективные пространства. Есть ли у кого-нибудь интуиция относительно того, почему должно быть наоборот?
Рекомендации:
Белен и Монтануччи: оценка числа точек пространственных кривых над конечными полями
Букур и Кедлая: вероятность того, что полное пересечение будет гладким
Хомма: оценка числа точек кривой в проективном пространстве над конечным полем
Ответы
Один из способов получить некоторую интуицию - это посмотреть на (более слабую) комбинаторную оценку. Предположим, у вас есть невырожденная кривая$C$ в некотором проективном пространстве $\mathbb P^n$. Предположим, что$L$ является подпространством коразмерности $2$ в $\mathbb P$ и это $|C\cap L|=m$. Чем выше размерность$n$ получает, тем большее значение мы можем выбрать для $m$. Действительно, мы всегда можем найти хотя бы$n-1$ указывает в $C$ которые охватывают $\mathbb P^{n-2}$.
Безу говорит, что для любой гиперплоскости $H$ это содержит $L$, количество точек $C$ это лежит в $H$ и не врать $L$ самое большее $d-m$. Так как количество таких гиперплоскостей равно$q+1$, независимо от размерности, получаем $|C|-m\le (q+1)(d-m)$ или что то же самое от перестановки терминов $$|C|\le (d-m)q+d.$$ Для $m=n-1$ это дает оценку $|C|\le (d-n+1)q+d$ для всех невырожденных кривых $C$. Конечно, это слабее, чем гипотеза и теоремы, которые вы упоминаете в сообщении, но (1) это справедливо для всех кривых, включая кривую, которая нарушает границу Шиклая (2) она уже демонстрирует явление «граница становится более жесткой, поскольку$n$ Продолжается".