Почему реал с операцией $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ это группа?

Aug 16 2020

Вышеупомянутая операция представляет собой группу для действительных чисел, поскольку 0 - это единичный элемент, а отрицательное значение любого действительного числа - его обратное, что можно наблюдать тривиально. Ассоциативность менее тривиальна, но она сохраняется.

Фактически, если мы заменим 3 на любое нечетное число (5, 7 ...), операция будет удовлетворять свойствам группы. Однако любое четное число не подходит.

Есть ли какая-то геометрическая / аналитическая / ... интерпретация того, почему такая операция, как $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ ассоциативно и, как следствие, придает реальным структурам структуру группы?

Ответы

16 lisyarus Aug 16 2020 at 15:35

Позволять $G$ быть любой группой, $X$ быть любым набором, и $f: X \rightarrow G$быть каким-либо взаимно однозначным. Затем мы можем перенести структуру группы из$G$ к $X$ установив $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. То есть мы используем биекцию$f$ определить элементы $G$ и элементы $X$, и наложите структуру группы на $X$используя эту идентификацию. Я оставлю в качестве упражнения, что это действительно определяет структуру группы на$X$.

Теперь возьми $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ и $f(x)=x^3$ чтобы восстановить ваше дело.

6 JCAA Aug 16 2020 at 15:39

Если $f$ - любая нечетная биекция действительных чисел, то операция

$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$

делает реалов группой и $f$изоморфизм аддитивной группы вещественных чисел в эту группу. В твоем случае$f(x)=x^3$. Ассоциативность следует из того, что$f$ является гомоморфизмом. $0$ нейтральный элемент и $-x$ является инверсией $x$. Здесь то, что$f$ нечетное используется.

4 KCd Aug 16 2020 at 15:46

Для произвольной биекции$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, операция $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ это групповой закон о $\mathbf R$. Все это говорит о том, что если вы переименуете каждое действительное число$x$ в виде $f(x)$ затем вы можете преобразовать исходный групповой закон $+$ в групповой закон $*$ так что $f$ является изоморфизмом из $(\mathbf R, *)$ к $(\mathbf R,+)$. Интуиция алгебраическая, а не геометрическая. В этом нет ничего волшебного$n$th коренится в нечетных $n$ кроме как биекция.

Функция гиперболического тангенса $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ это биекция, которая позволяет переносить добавление на $\mathbf R$ к групповому закону о $(-1,1)$что используется в специальной теории относительности (сложение скоростей в одномерном движении). Обратное этой биекции с точностью до коэффициента масштабирования в физике называется «быстротой».

2 J.G. Aug 16 2020 at 15:36

Короткий ответ: потому что $\sqrt{x^2}\ne x$ за $x<0$.

Длинный ответ, в котором я предпочитаю $\cdot$ к $\bullet$:

Операция удовлетворительная $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ закрывает реалы, так как если $n$ странно, мы можем взять $n$корень th, & если $n$ даже мы только пытаемся взять $n$корень чего-то $\ge0$. И с тех пор$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$сотрудники операции. (Отмена силы$n$ тривиально, поскольку, даже если $n$ даже, $\cdot$ всегда определяется, чтобы принимать неотрицательные $n$корень th в любом случае.) Итак, как минимум, мы формируем полугруппу.

поскольку $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, для нечетных $n$ у нас также есть $0$ как личность, но даже для $n$ мы этого не делаем, потому что $x\cdot0=|x|$, так что это даже не моноид, не говоря уже о группе . Аксиомы последней группы обратные, они работают для нечетных$n$ как вы заметили, но даже для $n$ у нас есть $x\cdot y\ge|x|$, значит, у нас тоже нет обратных.

1 Bernard Aug 16 2020 at 16:05

Подсказка :

Ассоциативность просто является результатом того факта, что оба $\;(x\bullet y)\bullet z$ и $\;x\bullet( y \bullet z)$ равны $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$