Почему важно писать функцию в виде суммы четных и нечетных функций?
Для функции $f(x)$ мы можем записать его как сумму четных и нечетных функций:
$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{Even}}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{Odd}}$$
У меня вопрос: почему для нас важно написать функцию как сумму этих двух четных и нечетных функций? Есть ли в этом какое-то применение?
Ответы
Когда я был старшеклассником, я думал, что четное / нечетное разложение, о котором вы пишете, кажется своеобразным и не столь фундаментальным. После изучения математики я понял, что лежащий в ее основе метод (извлечение «симметричных частей» путем усреднения и то, что вы могли бы назвать анти-усреднением) на самом деле представляет собой очень простой пример двух важных процессов в математике: разложение собственного подпространства и усреднение по группе для извлечения симметричного части функции (или вектора и т. д. ). То, что я пишу ниже, не предназначено для того, чтобы дать вам новые ситуации, когда ваше четное / нечетное разложение помогает решить задачу исчисления, но чтобы показать вам множество дополнительных примеров той же идеи, чтобы вы могли видеть, что она довольно широко встречается в математике.
Почти в каждой ситуации, когда есть операция, которая повторяется дважды, чтобы быть операцией идентичности, вы получаете аналог четного / нечетного разложения. Вот три примера.
Матрица транспонированная (где $M^{\top\top} = M$) приводит к выражению квадратной матрицы в виде суммы матриц, которые являются симметричными ($M^\top = M$) и кососимметричной ($M^\top = -M$) $$ A = \frac{A + A^\top}{2} + \frac{A - A^\top}{2} $$
Комплексное сопряжение (где $\overline{\overline{z}} = z$) дает точку зрения типа "четный / нечетный" на запись комплексного числа в стандартной форме: $a+bi$, поскольку это сумма действительного числа (подходящая $\overline{w} = w$) и чисто мнимое число (подходящее $\overline{w} = -w$): $$ z = \frac{z + \overline{z}}{2} + \frac{z - \overline{z}}{2} = a + bi $$ где $z = a + bi$ а также $\overline{z} = a - bi$.
Оператор свопинга в функциях ($f(x,y) \mapsto f(y,x)$) или тензоры ($v \otimes w \mapsto w \otimes v$) приводит к выражению функции или тензора в виде суммы симметричных и антисимметричных функций или тензоров: $$ f(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} + \frac{f(x,y) - f(y,x)}{2} $$ а также $$ v \otimes w = \frac{v \otimes w + w \otimes v}{2} + \frac{v \otimes w - w \otimes v}{2}. $$ Это играет важную роль в квантовой механике, где лежит в основе различия между бозонами (имеющими симметричные волновые функции) и фермионами (обладающими антисимметричными волновыми функциями).
Я сказал, что почти в каждой ситуации вы получаете что-то вроде разложения на четное / нечетное, потому что иногда одна из этих частей равна нулю и поэтому неинтересна. Например, поворот на 180 градусов$R$ самолета имеет $R(v) = -v$ для всех $v$ в $\mathbf R^2$, поэтому здесь все пространство "выглядит странно" под воздействием $R$. Нет вектора в$\mathbf R^2$ фиксируется поворотом на 180 градусов, за исключением начала координат.
Использование "порядка" $2$"здесь делает алгебру очень простой, но мы также можем рассматривать симметрии более высокого порядка, а не симметрии порядка 2. Рассмотрим для каждого$n \geq 1$ пытаясь разложить функцию $f:\mathbf C \to \mathbf C$ как сумма функций $f_k(z)$ которые "закручены" $k$th степеней при внутреннем масштабировании $n$корень из единства: $f_k(\zeta z) = \zeta^k f_k(z)$ для всех $n$корни единства $\zeta$ (или, что то же самое, просто $\zeta = e^{2\pi i/n}$) и все комплексные числа $z$, где $0 \leq k \leq n-1$. Дело$n=2$ четные / нечетные функции на $\mathbf C$ ($f_0(-z) = f_0(z)$ средства $f_0$ является четной функцией и $f_1(-z) = -f_1(z)$ средства $f_1$- нечетная функция). Принимая$n = 4$, мы можем попробовать разложить каждую функцию $f:\mathbf C \to \mathbf C$ как сумма четырех функций $$ f(z) = f_0(z) + f_1(z) + f_2(z) + f_2(z) $$ где $f_0(iz) = f_0(z)$, $f_1(iz) = if_1(z)$, $f_2(iz) = -f_2(z)$, а также $f_3(iz) = -if_3(z)$ для всех $z \in \mathbf C$.Вот формулы для каждой из функций: $$ f_0(z) = \frac{f(z) + f(iz) + f(-z) + f(-iz)}{4}, $$ $$ f_1(z) = \frac{f(z) - if(iz) - f(-z) + if(-iz)}{4}, $$ $$ f_2(z) = \frac{f(z) - f(iz) + f(-z) - f(-iz)}{4}, $$ $$ f_3(z) = \frac{f(z) + if(iz) - f(-z) - if(-iz)}{4}. $$ Эти формулы усреднения являются обобщением формул, которые вы написали для определения четной / нечетной части функции. $\mathbf R \to \mathbf R$. И это полезно в анализе Фурье, поскольку преобразование Фурье на функциях имеет порядок$4$.
Представленные здесь идеи распространяются еще дальше на разложение представления конечной группы в виде суммы неприводимых представлений. Для циклической группы порядка$2$есть два неприводимых представления, и это отражается в появлении в вашей формуле четных и нечетных функций. Таким образом, четное / нечетное разложение функций в вашем вопросе - это частный случай действительно важной идеи в математике. Это не просто «трюк» для решения задач искусственного исчисления.
Одно действительно изящное приложение для этого разложения (которое я видел на канале YouTube "Flammable Maths") - это вычисление интегралов вида $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx$$ где $t,a>0$ константы, $E(x)$ является (непрерывной) четной функцией, и $O(x)$является (непрерывной) нечетной функцией. Если вы установите$f(x)=\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}$ и писать $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ ты можешь сказать это $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\Bigg)dx+\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\Bigg)dx$$Последний интеграл на правой стороне равен нулю, поскольку мы интегрируем нечетную функцию в симметричной области. Немного алгебры$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}E(x)$ давая нам потрясающий результат $$\int_{-a}^a\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}dx=\int_{0}^aE(x)dx$$что действительно круто! Это означает, что мы можем сказать что-то вроде$$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4-x^2+1}{1+3^{\sin^2(x)\tan(x)+x^5+x}}\Bigg)dx=\int_0^1\big(x^4-x^2+1\big)dx=\frac{13}{15}$$ Это также можно использовать для вычисления довольно неприятных двойных интегралов! $$\int_0^1 \int_{-x^2}^{x^2}\Bigg(\frac{xy^2+x^3}{1+3^{x\tan^{11}(y)+e^x\sin^7(y)}}\Bigg)dydx=\int_0^1 \int_0^{x^2}(xy^2+y^3)dydx=\frac{5}{24}$$ Любить это.
Изменить : этот метод интеграции фактически обобщается на интегралы формы$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx$$ где $E_1(x),E_2(x)$ - произвольные (непрерывные) четные функции, а $O(x)$- произвольная (непрерывная) нечетная функция. Используя ту же самую процедуру, описанную выше, мы можем сказать$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{0}^aE_1(x)dx$$ что значит $$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4+x^2+1}{1+\big(x^2e^{-x^4}+\cos(x)\sin(x^2)\big)^{x^2\tan(x^3)+x}}\Bigg)dx=\int_0^1(x^4+x^2+1)dx=\frac{23}{15}$$
В ответе KCd мимоходом упоминается то, о чем я буду говорить, но я уточню его: краткий ответ - анализ Фурье .
Разделение функции на нечетные и четные компоненты - чрезвычайно полезный метод решения проблем при работе с преобразованием Фурье и связанным с ним рядом Фурье . Функцию, которая является чисто четной или чисто нечетной, легче найти преобразованием / рядом Фурье.
Это может показаться нишевой темой, но анализ Фурье - один из самых мощных и широко используемых математических методов. Вы не можете углубиться в какую-либо область STEM, не столкнувшись с ней, поэтому упрощение анализа Фурье имеет большее значение, чем вы думаете.
В Интернете есть множество знаний о том, что такое анализ Фурье и как он работает, поэтому я не буду повторять его здесь. Я нашел это видео на YouTube как хорошее введение в тему.
Знаменитый пример разложения на нечетные и четные функции дает формула Эйлера \begin{align*} \color{blue}{e^{iz}}&\color{blue}{=}\color{blue}{\cos z+i\sin z}\\ &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}+\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\qquad\qquad z\in\mathbb{C}\\ \end{align*} который используется во многих приложениях.