Покажи это $\angle BOC=\angle AOD$.
Позволять $E$ и $F$ - точки пересечения противоположных сторон выпуклого четырехугольника $ABCD$. Две диагонали встречаются в$P$. Позволять$O$ быть основанием перпендикуляра от $P$ к $EF$. Покажи это$\angle BOC=\angle AOD$.
Вот диаграмма:

Я определил $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ .
Теперь по известной лемме имеем $(Y,X;P,E)=-1$ и по лемме Аполлония получаем $PO$ делит пополам $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.
Точно так же мы знаем, что $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ делит пополам $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ .
Но это равенство углов ни к чему не приведет. Может кто-нибудь подскажет? Заранее спасибо !
Ответы
Позвольте мне вкратце перефразировать проблему
Треугольник $\triangle ABC$ и три чевиана $AD, BE, CF$ которые согласны с $P$дано. Определить$O:=EF\cap AD$ и разреши $H$ быть ортогональной проекцией $O$ на $BC$. Докажи это$\angle EHA=\angle KHF$.

Позволять $L:=AH\cap EF$ и $K:=HP\cap EF$. Сначала мы докажем, что$\angle LHO=\angle OHK$, а затем это $\angle EHO=\angle OHF$. Обратите внимание, что результат следует из этих наблюдений.
Для первой части заметим, что, как известно, $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ поскольку $(J,O; K, L)$ гармоничен и $\angle OHJ=90^\circ$, можно сделать вывод, что на самом деле $\angle LHO=\angle OHK$. Другая часть может быть доказана аналогично, поскольку у нас уже есть$(J,O;F,E)=-1$.