Покажи это, если $a,b \in \mathbb{R}^n$, тогда $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Question

Покажи это, если $a,b \in \mathbb{R}^n$, тогда $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

У нас есть это $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

и это $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

однако я не вижу, как я могу продолжить отсюда. Если я возьму$||a||-||b||$ я понимаю $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

что совсем не помогает. Что мне здесь делать?

Answer 1

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

Следовательно $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.

Аналогично у нас есть $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

Следовательно $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

То есть $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

Answer 2

Подлый трюк: написать $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$, и напрямую воспользуемся неравенством треугольника.

Answer 3

Поскольку @Siong Thye Goh уже предложил решение, я упомяну одну вещь.

---

$\blacksquare~$ Утверждение: для любого векторного подпространства $(X, \| \cdot \|)$ из $~\mathbb{K}^{n}$, выполняется следующее неравенство. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$Доказательство: у нас есть$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} потом $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

Следовательно, мы имеем $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.

---

Используя неравенство для любых $x, x_0 \in X~$ за $(X, \| \cdot \|)$ является линейным нормированным пространством и $X$ является подпространством $\mathbb{R}^n$, у нас есть очень важная претензия.

---

$\bullet~$ Утверждение : карта$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$является непрерывным или другими словами, норма $\| \cdot \|$является непрерывным.

$\bullet~$ Доказательство: из определения непрерывности для любого данного$\epsilon > 0$, Существует $\delta > 0$ такой, что
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} из предыдущей задачи имеем неравенство \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Давайте выберем нашу $\epsilon = \delta$. Поэтому у нас есть\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} Это показывает, что карта $\| \cdot \|$является непрерывной в$x_{0}$. В виде$x_{0}$это произвольно , то функция$\| \cdot \|$непрерывно на всем пространстве $X$.

---

Это делает важное доказательство какой - либо какой - либо нормы непрерывно на конечномерное векторное подпространство из$\mathbb{K}^n$.

Но не к вопросу, никакого намерения спамить :)