Покажи то $f(x) = x|x|$ непрерывно и дифференцируемо - проверка решения?

Question

Еще одно упражнение, которое я сделал без каких-либо решений.

Я очень сомневаюсь, что это правильно, поэтому, пожалуйста, поправьте меня :)

Позволять $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ быть предоставленным $f(x):=x|x| .$ Покажи то $f$ непрерывна и дифференцируема на $\mathrm{R}$

$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ Так $f(x)$ непрерывно

Дифференцируемый: показать $f^{\prime}(x)$ существует во всех $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$

Answer 1

Часть непрерывности верна, но не часть дифференцируемости. Обратите внимание, что$f(x)=x^2$ является $x\geqslant0$. Это показывает, что$f'(x)=2x$ является $x>0$ и что правая производная от $f$ в $0$ является $0$. По тому же аргументу$f'(x)=-2x$ является $x<0$ и левая производная от $f$ в $0$ является $0$. Так,$f$ дифференцируема в $\Bbb R\setminus\{0\}$ и, поскольку левая и правая производные при $0$ оба равны $0$, $f'(0)=0$. В частности,$f$ дифференцируема в $0$ тоже.

Answer 2

В качестве альтернативы,

• за $x<0$, $f(x)=-x^2$, которая дифференцируема;

• за $x>0$, $f(x)=x^2$, которая дифференцируема;

• в $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ подтверждает дифференцируемость функции.

Дифференцируемая функция также непрерывна.

Answer 3

За $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$

Для левого и правого пределов $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ в виде $x\to 0$, оба идут в $0$, так $f(x)$ дифференцируема в $0$.

Примечание: для $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$