Покажи то $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ ограничен, монотонен, и найти его предел

Aug 17 2020

Докажи это $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ограничен и монотонен. Затем найдите его предел.

Моя попытка ограниченности:

(Используя индукцию) Для базового случая имеем $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Предположим, что последовательность ограничена для$n = k$. Потом,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}

Меня сбивает срок $x_{n + 2}$ в рекурсивной формуле, и я не вижу алгебры для выполнения вышеуказанных шагов без получения $x_{n + 2}$ в выражении верхней / нижней границы.

Спасибо.

Обновить:

Я добавил это к доказательству:

У нас есть $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ и $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Предположим, что последовательность ограничена для$k+1$,

\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}

Следовательно, по принципу математической индукции последовательность ограничена.

Это действительно так?

Ответы

2 Gary Aug 17 2020 at 01:17

Заметьте, что $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. По индукции можно доказать, что$x_n <2$ для всех $n$. Предположим, что неравенство верно для$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. потом$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Теперь покажем, что последовательность монотонно возрастает. Предположим, что$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ справедливо для некоторых $n\geq 2$. потом$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ Таким образом $x_n$ограничена сверху и возрастает, следовательно, она сходится. Его предел$x$ должен удовлетворить $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ т.е. мы должны иметь $x=2$.

YvesDaoust Aug 17 2020 at 01:34

Нет, ваш аргумент неверен. Вы показываете это

$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$

Если применить индукцию, это приведет к

$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ который не ограничен.


Но вы можете использовать

$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$

PredatorCorp Aug 17 2020 at 01:41

Для ограниченности мы используем сильную индукцию, это тривиально, что последовательность положительна. Мы хотим показать это всем$n \in \mathbb{N}$ у нас есть $x_{n} < 2$

  1. При k = 1 имеем: $x_{1} = 0 < 2$
  2. Позволять $n \in \mathbb{N}$ и предположим, что для всех $k \leq n$ у нас есть: $x_{k} < 2$
  3. У нас есть: $x_{n-1} < 2$ и $x_{n} < 2$
    Потом: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
    Отсюда: $x_{n+1} < 2$

Для монотонности, снова воспользуемся индукцией, чтобы доказать, что для всех $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$

  1. При n = 1 ясно, что $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ поскольку $x_{1} = 0$
  2. Позволять $n \geq 2$ и предположим, что для всех $k \leq n$ у нас есть: $x_{k+1} \geq x_{k}$
    У нас есть: $x_{n} \geq x_{n-1}$ и $x_{n+1} \geq x_{n}$
    Отсюда: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
    Таким образом: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$

Мы заключаем, что последовательность возрастает и, таким образом, она монотонна. А поскольку она ограничена, то последовательности сходятся. Позволять$L$ - предел последовательности, то $L$ является решением уравнения $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, что дает $L = 2$