Покажите, что последовательность функций, сходящихся равномерно, интегрируема по Риману. Что, если они сходятся только по точкам?

Dec 10 2020

Позволять $f_n$ - последовательность интегрируемых по Риману функций на $[a,b]$которые равномерно сходятся к функции f. Покажите, что f также интегрируема по Риману. Что будет, если$f_n$ только поточечно сходится?

Рассматривая этот сценарий, покажите, что

$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Не совсем уверен, с чего начать эту проблему. Если они уже сходятся к функции равномерно, эта функция должна быть непрерывной, верно? Таким образом, он тривиально интегрируем по Риману. Точечный случай, в котором я не уверен. А потом вторая часть с ограничениями, я не знаю, как это сделать. Любая помощь приветствуется!

Ответы

2 RRL Dec 11 2020 at 00:21

Мы можем использовать критерий Римана, чтобы доказать, что равномерный предел $f$ последовательности функций, интегрируемых по Риману $(f_n)_n$ также интегрируема по Риману.

Путем равномерной сходимости для всех $\epsilon > 0$, Существует $N \in \mathbb{N}$ такое, что для всех $n \geqslant N$ у нас есть

$$-\frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x) - f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$$

Позволять $P: a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$быть перегородкой. С$f(x) = f(x) - f_n(x) + f_n(x),$ следует, что на любом подынтервале разбиения $I$,

$$\sup_I f(x) \leqslant \sup_I(f(x) - f_n(x)) + \sup_I f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \sup_I f_n(x), \\ \inf_I f(x) \geqslant \inf_I(f(x) - f_n(x)) + \inf_I f_n(x) > -\frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \inf_I f_n(x).$$

Таким образом, $ \inf_I f_n(x)- \frac{\epsilon}{3(b-a)} <\inf_I f(x) \leqslant \sup_I f(x) < \sup_I f_n(x)+ \frac{\epsilon}{3(b-a)}. $

Суммируя по всем подинтервалам разбиения, получаем для верхней и нижней сумм Дарбу,

$$U(f,P) < \frac{\epsilon}{3} + U(f_n,P), \quad -L(f,P) < \frac{\epsilon}{3} - L(f_n,P),$$

и поэтому,
$$U(f,P) - L(f,P) < \frac{2\epsilon}{3} + U(f_n,P) - L(f_n,P).$$

С $f_n$ интегрируема по Риману, существует разбиение $P$ такой, что $U(f_n,P) - L(f_n,P) < \epsilon/3$ и отсюда следует, что $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$ доказывая, что $f$ интегрируема по Риману.

Теперь вы сможете доказать самостоятельно, что предел последовательности интегралов является интегралом от предельной функции, учитывая, что $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ равномерно для всех $x \in [a,b]$.

2 Bargabbiati Dec 10 2020 at 21:11

Позволять $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ - рациональные числа в интервале $[0,1]$, и рассмотрим функции $$f_n(x)= \begin{cases} 1 &\text{if}\quad x \in \{q_1, \ldots, q_n\},\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$

В $f_n(x)$ интегрируемы по Риману, но сходятся к функции Дирихле, которая не интегрируема по Риману.