Покажите, что возрастающая функция имеет производную $0$ ае
Позволять $0<p<1$ и определить $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ по $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ где $q=1-p$. Я хотел бы доказать что$F'(x)=0$ ае
Я прорабатываю "Как играть, если нужно" Кайла Зигерста, который по сути представляет собой серию упражнений.$F(x)$ вероятность того, что игрок, начавший с банкролла $0\leq x\leq 1$ достигнет своей цели $1$если он вступит в «смелую игру» в игре красных и черных. Когда его банкролл$\leq\frac12$ он ставит все, выигрывая ставку с вероятностью $p$, и теряя с вероятностью $q$. Когда его банкролл$>\frac12$, он ставит ровно столько, чтобы достичь цели, то есть $1-x$.
В упражнениях я показал, что есть уникальная функция $F$удовлетворяет функциональному уравнению, приведенному выше, и что оно непрерывно и строго возрастает. После упражнения$33$, автор отмечает, что когда $p\neq\frac12$, $F'(X)=0$ э, так что $F$это чертова лестница. Я пытался доказать это утверждение. (Я знаю, что возрастающая функция дифференцируема - это значение, с которым у меня проблемы.)
Расплывчато $50$-летние воспоминания о теории меры привели меня к предложению 3.31 в "Реальном анализе" Фолланда, а именно
Если $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ Более того, $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ э, и $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $
Вот $m$ - мера Лебега, а п.в. относительно меры Лебега. $\mu_F$ - мера Бореля, определяемая формулой $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$. Фолланд использует$NBV$ иметь в виду, что $F$ имеет ограниченную вариацию, $F(-\infty)=0$ и $F$непрерывна справа. Это не проблема, так как мы можем расширить$F$ к $\mathbb{R}$ определяя $F(x)=0$ за $x<0$ и $F(x)=1$ за $x>1$.
Так что, кажется, все сводится к показу $\mu_F\perp m$. Это означает, что есть$E\subset[0,1]$ с участием $m(E)=0$ и $\mu_F(E)=1$если я не ошибаюсь. Я не понимаю, как это доказать. На самом деле мне это кажется маловероятным, поэтому я должен что-то неправильно понять.
В упражнении 29 я доказал, что $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ где $x_i$ это номер бита $i$ из $x$, и $p_0=p,\ p_1=q$. (Когда$x$ является диадическим рациональным, мы берем завершающее представление.) Если мы представляем выигрыши как $1$ и потери $0$, это означает, что игрок достигает цели тогда и только тогда, когда бит в его банкролле впервые совпадает с соответствующим игровым битом, оба эти бита $1$. Это наиболее конкретное представление$F$ в газете, но я не понимаю, как это помогает.
Вы можете пролить свет на это для меня?
Ответы
Сначала обратите внимание, что $F$ это cdf случайной величины $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ где $\xi_n$ Иид Бернулли$(p)$случайные переменные. Действительно, ясно, что$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$, где $Y$ имеет то же распределение, что и $X$ и не зависит от $\xi_1$. Это дает соотношение$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ что и есть соотношение для $F$.
Теперь обратите внимание на усиленный закон больших чисел, что $X$ поддерживается на множестве действительных чисел, двоичное разложение которых имеет асимптотическую плотность $p$ из $1$'s (или, что то же самое, имеет асимптотическую плотность $q$ из $0$s).
Но множество всех таких действительных чисел имеет нулевую меру Лебега. Действительно, если мы равномерно отбираем действительное число из$[0,1]$, то его двоичные цифры равны Бернулли.$(1/2)$, поэтому почти наверняка асимптотическая плотность $1$это $1/2$не $p$.
Делаем вывод, что закон $X$ сингулярна относительно меры Лебега, что равносильно условию $F'=0$ э.