Поля Дирака: действуют ли операторы создания частиц и античастиц по-разному на вакуум?

Dec 22 2020

Учитывая поле Дирака $$\Psi(x):=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\delta\left(p_0-\omega(\mathbf{k})\right)\sum_s\left(a_s(k)u_s(k)e^{-ikx}+b^\dagger_s(k)v_s(k)e^{ikx}\right)$$ с операторами создания $a^\dagger_s(k),b^\dagger_s(k)$ для частиц и античастиц соответственно, как эти операторы действуют на вакуум?

В частности, правда ли, что $|k\rangle=a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$?

Ответы

4 Eletie Dec 22 2020 at 20:16

Я думаю, что теперь я понял ваш вопрос, и я думаю, что это простая проблема с обозначениями. Одночастичные состояния для частиц и античастиц следует обозначать по-разному, т.е. попытка быть как можно ближе к вашим обозначениям даст что-то вроде

$$|k,s\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle \ \ \ \ , \ \ \ \ |\tilde{k},\tilde{s}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle \ .$$И все обычные коммутационные соотношения такие же. Возможно, более стандартными обозначениями были бы$|1_{k}\rangle \equiv a^\dagger_s(k)|0\rangle$ и $|\bar{1}_{k}\rangle \equiv b^\dagger_s(k)|0\rangle $, но я не совсем уверен, что наиболее распространено.

3 MikhailSkopenkov Dec 22 2020 at 20:44

Это не правда , что$a^\dagger_s(k)|0\rangle=b^\dagger_s(k)|0\rangle$. Кроме того, обозначение$|k\rangle $неоднозначно. Есть состояние$|k,s\rangle =a^\dagger_s(k)|0\rangle$содержащая одну частицу с импульсом$k$ и состояние вращения $s$ и государство $|\tilde k,\tilde s\rangle =b^\dagger_s(k)|0\rangle$содержащая одну античастицу с импульсом$k$ и состояние вращения $s$. См., Например, [1], раздел 5.4.

[1] Г. Б. Фолланд, Квантовая теория поля. Путеводитель для математиков, Math. Surveys & Monographs 149, AMS, 2008.

1 Buzz Dec 22 2020 at 17:37

Оператор $a$- оператор аннигиляции частицы , а$b^{\dagger}$- оператор создания античастиц. Действуя на вакуум,$a_{s}(k)|0\rangle=0$, но $b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle\neq0$. По факту,$b^{\dagger}_{s}(k)|0\rangle$ представляет собой одночастичное антифермионное состояние (которое не то же самое, что одночастичное фермионное состояние).

Общность между $a$ и $b^{\dagger}$дело не в том, что каждый из них создает частицу. Напротив, каждый из них может уменьшить число фермионов на$1$. (Число фермионов - это количество присутствующих фермионов минус количество антифермионов, т.е. ноль в вакууме.) Воздействие на одночастичное фермионное состояние$a_{s}(k)|k,s\rangle=|0\rangle$, аннигилируя фермион с импульсом $k$ и вращать $s$. Сопряженное поле$\Psi^{\dagger}$ (или $\bar{\Psi}=\Psi^{\dagger}\gamma_{0}$) включает $a^{\dagger}$, который создает фермион, и $b$, который аннигилирует антифермион. Таким образом,$\Psi^{\dagger}$ увеличит число фермионов на $1$.