Полезность дифференциальной геометрии
Недавно я наткнулся на эти книги:
- Дифференциальная геометрия и группы Ли: вычислительная перспектива
- Дифференциальная геометрия и группы Ли: второй курс
Их предмет действительно меня заинтриговал, так как мне очень нравится топология / геометрия / анализ, но я не планировал заниматься ими, так как я также хочу работать в области с очень конкретным приложением. Однако я настроен скептически. В какой-то момент я подумал, что анализ топологических данных (TDA) был идеальным сочетанием моих интересов, но я нашел очень мало свидетельств того, что эта область действительно используется в информатике, не говоря уже о промышленных или других более «практических» условиях. Кажется, что TDA заставляет математиков чувствовать себя более значимыми в мире науки о данных, но я не уверен, что это делает их такими (не стесняйтесь возражать мне, если вы думаете, что я ошибаюсь в этом вопросе, но обратите внимание, что я хочу конкретную вариант использования, а не абстрактный аргумент о его актуальности). У меня есть похожие истории о теории кодирования, некоторых аспектах теории множеств и так далее.Они могут иметь теоретическое значение, но существует ли ситуация, когда в процессе разработки программного обеспечения может потребоваться консультация по этим областям? Я ничего не знаю.
Итак, теперь мой вопрос: есть ли какая-нибудь практическая область информатики, в которой широко используется дифференциальная геометрия? Медицинская визуализация, другая визуализация, компьютерная графика, виртуальная реальность и некоторые другие области приходят на ум как потенциальные области применения. Однако по моему (правда, ограниченному) опыту, в этих областях, похоже, используется базовая трехмерная геометрия, числовая линейная алгебра и иногда численный анализ УЧП. Все это очень хорошие темы, но они не требуют ничего более абстрактного, чем дифференциальная геометрия.
Заранее спасибо.
Ответы
В основном я вижу применение дифференциальной геометрии в информатике в следующих прикладных областях:
- Компьютерная графика / Обработка геометрии
- Машинное обучение / обработка сигналов
Для компьютерной графики / обработки геометрии рекомендую искать:
- Курс по дискретной дифференциальной геометрии Кинан Крейн
- Дискретная дифференциальная геометрия для плейлиста CS
- Сборник статей по дискретной дифференциальной геометрии
Для машинного обучения / обработки сигналов рекомендую искать:
- Множественное обучение
- Информационная геометрия
- Нелинейная обработка сигналов
- Геометрическое глубокое обучение
Также проверьте этот ответ в разделе «Обмен математикой», и на этой конференции « Дифференциальная геометрия» встречается с глубоким обучением.
Кстати, « Функциональная дифференциальная геометрия» - отличная книга.
Если вам интересна структура и интерпретация компьютерных программ , вам может понравиться функционально-дифференциальная геометрия (от тех же авторов).
Дифференциальная геометрия обманчиво проста. На удивление легко получить правильный ответ, используя нечеткие и неформальные манипуляции с символами. Чтобы решить эту проблему, мы используем компьютерные программы, чтобы передать точное понимание вычислений в дифференциальной геометрии. Выражение методов дифференциальной геометрии на компьютерном языке заставляет их быть однозначными и вычислительно эффективными. Задача формулировки метода в виде исполняемой компьютером программы и отладки этой программы является мощным упражнением в процессе обучения. Кроме того, после процедурной формализации математическая идея становится инструментом, который можно использовать непосредственно для вычисления результатов.
По материалам Sussman, Wisdom: Functional Differential Geometry.
В настоящее время каждое поле, имеющее в нем название «дифференциал», так или иначе применяется в нейронных сетях. Например, для дифференциальной геометрии вы можете подумать о дифференциальной визуализации в компьютерной графике.
В настоящее время я работаю над статьей Чжана и др. «Дифференциальная теория переноса излучения».