Положительный род фуксовых групп
Позволять $G$ быть решеткой в $SL(2,\mathbb{R})$. Всегда ли существует подгруппа конечного индекса?$F$ из $G$ такая, что фактор-поверхность $\mathbb{H}/F$есть положительный род? Верно ли утверждение при некотором достаточно общем наборе предположений? Вы можете добавить ссылку?
Ответы
Да, это правда, но доказать это проще, чем найти ссылку.
Каждая конечно порожденная матричная группа (например, решетка в $PSL(2, {\mathbb R})$содержит подгруппу без кручения. Общий результат принадлежит Сельбергу, но для дискретных подгрупп группы$PSL(2, {\mathbb R})$ это наверняка было известно раньше.
Ввиду 1 достаточно доказать, что всякая поверхность $S$ гомеоморфна двумерной сфере с $n\ge 3$ проколы допускают конечное покрытие $S'\to S$ такой, что $S'$имеет положительный род. Предположим сначала, что$n$странно. Проколы вокруг$p_i$ маленькими петлями $c_i$. Я буду думать об этом как об элементах$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Теперь рассмотрим гомоморфизм$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ где первая стрелка - это Гуревич, а вторая - $[c_1], [c_2]$ к $1$ и остальные $[c_i]$к $0$. Возьмите 2-кратное покрытие$S_1\to S$ соответствующий ядру $\alpha$. потом$S_1$ является $2+ 2(n-2)$-разно проколотая сфера. Таким образом, проблема сводится к случаю сфер с четным числом проколов.
Позволять $S$ быть $S^2$ с участием $n=2k\ge 4$проколы. Аналогично (2) определим гомоморфизм$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
куда вторая стрелка отправляет все $[c]_i$к ненулевому элементу ${\mathbb Z}_2$. Позволять$S'\to S$ обозначим 2-кратное покрытие, соответствующее ядру $\beta$. потом$S'$ буду иметь $2k$ проколы и род $k-1>0$. (Это упражнение по топологии поверхностей. Естественное продолжение$S'\to S$к разветвленному покрытию компактных поверхностей называется гиперэллиптическим накрывающим отображением .)
Редактировать. 1. Если вам нужна ссылка, оптимальный результат - в
Эдмондс, Аллан Л .; Юинг, Джон Х .; Кулкарни, Рави С. , кручения подгруппы фуксовых групп и мозаик поверхностей , Изобретают. Математика. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .
Это можно сформулировать так: Предположим, что $F_1, F_2$ решетки в $G=PSL(2, {\mathbb R})$. потом$F_2$ встраивается в $F_1$ (как абстрактная группа) с индексом $k$тогда и только тогда, когда выполняется условие Римана-Гурвица :$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Как только вы распутаете определения, это означает положительный ответ на положительный вопрос о роде.
- Чтобы применить их результат, нужно знать (а они принимают это как должное), что каждая решетка в $G$ есть презентация $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Это изложение можно найти в статьях Пуанкаре о фуксовых функциях. Трудно сказать, действительно ли у него было доказательство (это относится практически ко всему написанному Пуанкаре, что я пытался прочитать, но другие могут не согласиться), но у него был инструмент для доказательства результата, а именно выпуклые фундаментальные области. Более убедительное доказательство, вероятно, можно найти в статьях Дена (я не пробовал). Самое раннее известное мне твердое упоминание о существовании конечного порождающего множества решеток$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ является
Сигель, Карл Людвиг , Некоторые замечания о разрывных группах , Ann. Математика. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .
Неудивительно, что Зигель использует фундаментальные многоугольники для доказательства результата: он доказывает существование конечно-стороннего фундаментального многоугольника и, как следствие, пришел к явной верхней оценке числа образующих в терминах площади частного ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Эта теорема конечности верна в гораздо большей общности для решеток в связных группах Ли, но это уже другая история (которая также имеет сложную историю до такой степени, что неясно, кому можно приписать этот, очевидно, фундаментальный результат). Одна вещь, в которой я не уверен:
Хотя существование конечных порождающих множеств для решеток в связных группах Ли известно, я не знаю твердой ссылки на явную верхнюю границу количества образующих в терминах объема фактора (в случае без кручения) .
- Относительно "гипотезы Фенхеля", что каждая решетка в $G=PSL(2, {\mathbb R})$содержит подгруппу конечного индекса без кручения: история несколько странная. Трудно / невозможно сказать, когда впервые была высказана гипотеза. Это упоминается в статье Нильсена.
Дж. Нильсен, Kommutatorgruppen for det Frie produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), стр. 49-56.
Примечательно, что в статье Нильсена вообще нет ссылок.
Однако к моменту появления статьи Нильсена гипотеза Фенхеля была уже доказана. Доказательство в основном содержится в:
Мальцева, А. И. , О точном представлении бесконечных групп матрицами , Am. Математика. Soc., Пер., II. Сер. 45, 1-18 (1965); перевод из мат. Сб., Н. Сер. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .
Теперь каждая решетка $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ конечно порожден и содержит только конечное число $\Gamma$-классы сопряженности элементов конечного порядка. (Это, по крайней мере, вытекает из теоремы Зигеля о фундаментальных многоугольниках, которые, как я уже сказал, вероятно, были известны Пуанкаре.) Из теоремы Мальцева следует, что если$\Gamma$ конечно порожденная матричная группа, то для любого конечного набора нетривиальных $\Gamma$-классы сопряжения $C_1,...,C_k$, существует подгруппа конечного индекса $\Gamma'< \Gamma$ не пересекаться с $C_1,...,C_k$. Объединив два результата, каждая решетка в$G=PSL(2, {\mathbb R})$ содержит подгруппу без кручения конечного индекса.
Полное решение гипотезы Фенчела было заявлено Фоксом в
Фокс, Ральф Х. , О гипотезе Фенхеля о (F) -группах, Матем. Tidsskr. В 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .
который явно не знал о работе Мальцева. Решение Фокса оказалось частично ошибочным, ошибка (в одном из случаев) исправлена в:
Чау, Т.С. , Примечание относительно статьи Фокса о гипотезе Фенчела , Proc. Am. Математика. Soc. 88, 584-586 (1983). ZBL0497.20035 .
К тому времени (23 года назад) Сельберг доказал еще более общий результат:
Сельберг, Атле , О разрывных группах в многомерных симметрических пространствах, Contrib. Теория функций, Int. Разговор. Бомбей, январь 1960 г., стр. 147–164 (1960). ZBL0201.36603 .
Сельберг доказал, что каждая конечно порожденная матричная группа содержит подгруппу без кручения конечного индекса. Сельберг также не знал о статье Мальцева, но, по крайней мере, он не переделывал то, что уже было там. Дело в том, что конечно порожденная матричная группа$\Gamma$ может иметь бесконечно много $\Gamma$-сопряженности конечных подгрупп, следовательно, нельзя просто применить результат Мальцева.
Замечание о шаге (1) доказательства Мойше Кохана. Эта проблема (нахождения конечного индекса, подгруппы без кручения решетки в$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) получила название «Гипотеза Фенхеля». Его разрешил Ральф Х. Фокс. См. Его статью:
О гипотезе Фенхеля о F-группах
и более поздняя работа (для других доказательств и исправлений к более ранней работе).