получение упрощенного выражения для коэффициента при $x^n$

Question

Я пытался найти коэффициент $x^n$ в расширении $(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2},$ обозначенный $[x^n]\{(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2}\}$. Используя отрицательную биномиальную теорему, я знаю, что он равен$$ \begin{split} \sum_{j=0}^n &([x^j](1+x)^{-2})([x^{n-j}](1-2x)^{-2}) \\ &= \sum_{j=0}^n {j+1\choose 1}(-1)^j{n-j+1\choose 1}2^{n-j} \\ &= \sum_{j=0}^n (j+1)(n-j+1)(-1)^j2^{n-j}. \end{split} $$

Однако мне было интересно, есть ли способ еще больше упростить это выражение?

Answer 1

Как предлагает @AnginaSeng, вы можете применить разложение частичной дроби: \begin{align} \frac{1}{(1+x)^2(1-2x)^2} &=\frac{1/9}{(1+x)^2}+\frac{4/27}{1+x}+\frac{4/9}{(1-2x)^2}+\frac{8/27}{1-2x}\\ &=\frac{1}{9}\sum_{n \ge 0}\binom{n+1}{1}(-x)^n+\frac{4}{27}\sum_{n\ge 0} (-x)^n+\frac{4}{9}\sum_{n \ge 0} \binom{n+1}{1}(2x)^n+\frac{8}{27}\sum_{n\ge 0} (2x)^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\frac{1}{9}\binom{n+1}{1}(-1)^n+\frac{4}{27}(-1)^n+\frac{4}{9}\binom{n+1}{1}2^n+\frac{8}{27} 2^n\right) x^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\color{blue}{\frac{(3n+7)(-1)^n+(12n+20)2^n}{27}}\right) x^n \end{align}

Answer 2

Возможно, это способ начать. Мы можем определить$$ f(x,y) = \sum_{j=0}^n (j+1)x^j (n-j+1) y^{n-j}, $$ где мы в конечном итоге можем захотеть узнать $f(-1,2)$. Обратите внимание, это наводит на мысль о различении более простой функции. Другими словами, интегрируя по$x$ мы получаем $$ I_x(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} (n-j+1) y^{n-j} + C(y) $$ и снова интегрируя с $y$ $$ I_{xy}(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} y^{n-j+1} + \int C(y) dy + K(x). $$ Если мы позволим $C(y) = 0 = K(x)$ у нас есть $I_{xy}(x,y)$которые должно быть легко вычислить с помощью прямых геометрических рядов. Затем возьмите смешанную частичную$x$ а потом $y$ (или наоборот) и оцените на $x=-1,y=2$.

---

Возможно, более простым способом будет отметить, что $$ f(-1,2) = 2^n \sum_{j=0}^n (j+1) (n-j+1) (-2)^{-j} = A \sum_{j=0}^n 2^{-j} + B \sum_{j=0}^n j 2^{-j} + C \sum_{j=0}^n j^2 2^{-j}, $$ где вы можете получить $A,B,C$ путем расширения линейного члена и упрощения, и 3 суммы представляют собой геометрические ряды $\sum_k a^k$ и 2 его производные.