Помощь с доказательством теоремы Бореля-Лебега
Теорема из учебника «Анализ 1» Владимира Зорича:
Каждое семейство открытых интервалов, покрывающее отрезок, содержит конечное подсемейство, покрывающее отрезок.
Доказательство. Позволять$S=\{U\}$ быть семьей открытых интервалов $U$ которые покрывают закрытый интервал $[a,b]=I_1$. Если$I_1$ не может быть покрыт конечным набором интервалов семейства $S$, то делим $I_1$в двух половинах. По крайней мере одну из половинок обозначим через$I_2$, не допускает конечного покрытия. Повторяем этот процесс с интервалом$I_2$ и так далее.
При этом мы создаем вложенную последовательность $I_1\supset I_2 \supset \dots \supset I_n \supset \dots$ отрезков, среди которых ни один не позволяет покрыть конечное подсемейство S. $I_n$ равно $|I_n|=|I_1|\cdot 2^{-n}$, последовательность $\{I_n\}$содержит интервалы сколь угодно малой длины. Согласно свойству вложенного интервала существует точка$c$, которое во всех этих интервалах $I_n, n\in \mathbb{N}$. поскольку$c \in I_1 = [a,b]$, существует открытый интервал $ (\alpha, \beta)=U \in S$, который содержит $c$, т.е. $\alpha < c < \beta$. Позволять$\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$. В ранее созданной последовательности интервалов мы можем найти интервал$I_n$, так что $|I_n|< \epsilon$. поскольку$c \in I_n$ и $|I_n|<\epsilon$, это следует из того $I_n \subset U=(\alpha, \beta)$. Это противоречит тому, что интервал$I_n$не может быть покрыт конечным набором интервалов семейства. И поэтому первоначальное утверждение верно.
Конец доказательства.
Я не понимаю двух вещей:
- Почему выбор $\epsilon=min\{c-\alpha, \beta - c\}$хороший, а как ты должен его самому придумать? Или какая информация была у нас до выбора$\epsilon$, должен указать, какой должен быть выбор?
- Почему из $c\in I_n$ и $|I_n|<\epsilon $ после этого $I_n\subset U=(\alpha, \beta)$ ?
Я перевела текст с немецкого, надеюсь, нет никаких расхождений между терминами.
Ответы
$c-\alpha$ это расстояние между $c$ и нижний конец интервала $(\alpha,\beta)$. Так же,$\beta-c$ это расстояние от $c$до верхнего конца интервала. Обычно мы пишем$\vert \alpha-c\vert$ и $\vert \beta-c\vert$, но поскольку мы знаем, что $\alpha<c<\beta$, мы можем опустить абсолютные значения и просто выбрать правильный порядок вычитания: $c-\alpha$ потому как $\alpha<c$, и $\beta-c$ потому как $c<\beta$. И тогда минимум$\epsilon$ из двух - это минимальное расстояние $c$к границам интервала. Это означает, что все, что ближе, чем$\epsilon$ к $c$ оба больше, чем $\alpha$ и меньше чем $\beta$, так что все, что находится на расстоянии $\epsilon$ из $c$ также находится внутри интервала $(\alpha,\beta)$. И это так для$I_n$: поскольку он содержит $c$ и имеет длину меньше, чем $\epsilon$, все точки в $I_n$ ближе чем $\epsilon$ к $c$, и поэтому содержатся в $(\alpha,\beta)$. И тогда так$I_n$.