Понимание доказательства, связанного с непрерывностью

Aug 17 2020

Предположим, что $f:X\to \mathbb{R}$ - некоторая непрерывная функция с $f(y)>0$ для некоторых $y\in X$. Я прочитал доказательство, в котором говорится

поскольку $f$ непрерывна, есть открытая окрестность $U$ из $y$ и $\delta>0$ такой, что $f(x)\geq \delta$ для $x\in X$.

Я не понимаю, почему они существуют, не могли бы вы объяснить, что происходит? Я почти понимаю:

  1. поскольку $f$ непрерывно, существует открытое множество $U$ содержащий $y$ такой, что $f(x)>0$ для всех $x\in U$. Я не понимаю, как это достигается определением непрерывности ...

  2. поскольку $f>0$ на $U$ на 1) выбираем $\delta>0$ настолько мал, что $f(x)\geq \delta$ для всех $x\in U$. Это разрешено? Если да, то почему?

Ответы

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 11:55

Взять $\delta = \frac{f(y)}{2}$. потом$(\delta, \infty)$это открытый набор. По определению непрерывности (для общего топологического пространства)$U = f^{-1}((\delta, \infty))$открыт. И ясно по определению,$y \in U$ поскольку $f(y) > f(y) / 2 = \delta$. И для всех$x \in U$, у нас есть $f(x) > \delta$ и поэтому $f(x) \geq \delta$.