Последовательность $\{f_n\}$ сходиться в $L^1$?

Question

Рассмотрим последовательность функций $f_n\in L^1(\Bbb R)$ определяется $f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x)$ за $x\in\Bbb R$. Последовательность$\{f_n\}$ сходиться в $L^1$?

Попытка. Думаю, нет. Предположим, что существует функция$g\in L^1(\Bbb R)$ такой, что $f_n\to g$ в $L^1$. Тогда по неравенству Минковского имеем$$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1\geq \lim_{n\to\infty}|\|f_n\|_1-\|g\|_1|=\lim_{n\to\infty}|1-\|g\|_1|=1-\|g\|_1$$ подразумевает, что $\|g\|_1\geq 1.$ С другой стороны, $$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1=\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}|f_n(x)-g(x)|dx.$$Здесь я не уверен, что мы можем использовать теорему о доминируемой сходимости Лебега. Если да, то получаем$\|g\|_1=0$, противоречие. Кроме того, легко увидеть, что$f_n$сходится к нулевой функции поточечно. Благодаря!

Answer 1

Простой ответ: если он сходится, он может сходиться только к нулевой функции. Это потому, что сходимость в$L^{1}$ влечет сходимость п.в. для подпоследовательности, а поточечный предел равен $0$. В настоящее время$\int |f_n-0|=1$ так $(f_n)$ не сходится в $L^{1}$.