Потерять $\pm$ при различении $x^2+y^2=1$ неявно

Question

При дифференцировании явной функции: $y=\pm \sqrt{1-x^2}$ есть две ветви и $\pm$ сохраняется при рассмотрении обеих ветвей: $\frac{dy}{dx}=\pm \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Но если мы дифференцируем функцию неявно, мы теряем положительную ветвь: $$x^2+y^2=1$$ $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Как неявно дифференцировать эту функцию без потери $\pm$ ?

Answer 1

Из второй строки мы просто получаем это $\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$... тогда если $y=\pm \sqrt{1-x^2}$, ты ничего не теряешь как

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{\pm \sqrt{1-x^2}}=\mp \frac{x}{ \sqrt{1-x^2}}$