Позволять $A$ быть открытым, плотным $\mathbb R^n$. Докажи это $A + A = \mathbb R^n$

Question

Я понятия не имею, как это сделать. Я пытаюсь доказать, что учитывая некоторые$x$ в $\mathbb R^n$ должно быть что-то $y$ так что оба $\frac x 2 + y$ и $\frac x 2 - y$ оба находятся в А.

Но я не знаю, как продолжить. Только подсказки приветствуются

Answer 1

Если $A$ - плотное открытое множество, то $A-\frac x2$ и $\frac x2-A$- плотные открытые множества, поэтому их пересечение - плотное открытое множество, и в частности оно непусто. Выберите точку$y\in(A-\frac x2)\cap(\frac x2-A)$; тогда$\frac x2+y\in A$ и $\frac x2-y\in A$, так $x=(\frac x2+y)+(\frac x2-y)\in A+A$.

В более общем смысле, если$A$ непустое открытое множество в $\mathbb R^n$ и $B$ плотное подмножество $\mathbb R^n$, тогда $A+B=\mathbb R^n$.

Доказательство. Рассмотрим любую точку$t\in\mathbb R^n$; мы должны показать это$t\in A+B$.

Поскольку отображение $x\mapsto t-x$ гомеоморфизм, $t-A$- непустое открытое множество. поскольку$B$ плотный, $B\cap(t-A)\ne\emptyset$. Выберите точку$b\in B\cap(t-A)$. потом$b\in B$, и $b=t-a$ для некоторых $a\in A$, так $t=a+b\in A+B$.