Представьте функцию как разность двух выпуклых функций

Question

Я знаю, что если $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ является $C^2$его можно переписать как разность двух выпуклых функций. Я спрашиваю вас, есть ли кто-нибудь, кто знает, возможно ли распространить это свойство на функцию, которая имеет$\mathbb{R}^n$ как домен.

Answer 1

Это возможно, например:

Если $f \in C^2(D,\mathbb{R})$ и $D$ непустое, выпуклое и компактное подмножество $\mathbb{R}^n$, тогда $f$ является dc-функцией, т.е. разностью двух выпуклых функций.

Доказательство не может быть выполнено так же, как в $\mathbb{R}$. Обратите внимание, что в этом заявлении вам нужно компактное подмножество.

Вот ссылка (ответ Санджо): https://math.stackexchange.com/a/843020/797553

Для доказательства использования $g(x)=f(x) + \rho/2 \cdot x^Tx$ и $h(x)=\rho/2 \cdot x^Tx$, где $\rho=\left| ~min ~\{\lambda_{min}(Hessf(x)): x\in D\} ~\right|$. потом$f=g-h$. Обратите внимание, что$\rho$ существует только как $D$ компактный.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Для $D=\mathbb{R}^n$утверждение все еще верно. (см. [Konno H., Thach PT, Tuy H. (1997) DC-функции и DC-множества. В: Оптимизация на невыпуклых структурах низкого ранга. Невыпуклая оптимизация и ее приложения, том 15. Springer, Boston, MA]). В этой книге вы также найдете доказательство приведенного выше утверждения.