Пример изоморфизмов алгебр Ли

Jan 05 2021

Я ищу пример изоморфной алгебры Ли. 2 алгебры изоморфны, если существует биективная линейная функция$g_1 \rightarrow g_2$ который отображает все $X,Y \in g_1$ любить $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

Итак, две алгебры Ли, которые я мог придумать, были бы перекрестным произведением в ${\rm I\!R}^3$ и коммутаторная алгебра левоинвариантного векторного поля, но я не могу придумать функцию, которая отображает их, как я говорил ранее.

Ответы

4 TorstenSchoeneberg Jan 05 2021 at 14:11

Примеры, упорядоченные от простого к сложному:

  1. Позволять $\mathfrak g$- любая алгебра Ли. Карта идентичности$x \mapsto x$ является изоморфизмом от $\mathfrak g$ себе.

  2. Позволять $V$, $W$ быть векторными пространствами над полем $k$, и определим на них скобки Ли как $[v_1, v_2] = 0$ и $[w_1,w_2]=0$ для всех $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Покажите, что алгебры Ли$V$ и $W$ (с этими скобками) изоморфны тогда и только тогда, когда $V$ и $W$иметь такое же измерение. (Это должно быть просто проверкой того, что вы понимаете изоморфизмы векторных пространств, абсолютный базис линейной алгебры.)

  3. Позволять $k$ быть любым полем и $\mathfrak{gl}_n(k)$ алгебра Ли, заданная всеми $n \times n$-матрицы над $k$, со скобкой Ли, заданной коммутатором матриц $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (где $\cdot$обычное матричное умножение). Позволять$g$быть любым обратимым $n\times n$-матрица над $k$, т.е. элемент $\mathrm{GL}_n(k)$. Покажи, что карта$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ является изоморфизмом от $\mathfrak{gl}_n(k)$к самому себе, то есть авто морфизм$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  4. Позволять $\mathfrak{gl}_n(k)$быть как в предыдущем примере. Карта, которая отправляет каждую матрицу на отрицательное транспонирование,$$ A \mapsto -A^T$$ является изоморфизмом от $\mathfrak{gl}_n(k)$к самому себе, то есть авто морфизм$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  5. Позволять $k$ быть любым полем, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ двумерный $k$-векторное пространство с основанием $v_1, v_2$ и скобка Ли $[v_1, v_2] = v_2$. Позволять$\mathfrak g_2$ быть еще одним двумерным $k$-векторное пространство с основанием $w_1,w_2$ и $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Найдите изоморфизм алгебр Ли$\mathfrak g_1$ и $\mathfrak g_2$.

  6. Позволять $\mathfrak g_1$ и $\mathfrak g_2$ будет как в предыдущем примере, за исключением того, что теперь скобка Ли на $\mathfrak g_2$ дан кем-то $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ где $c \in k^\times$ и $a \in k$. Снова найди изоморфизм$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Для этого и предыдущего примера см. Классификация 1- и 2-мерных алгебр с точностью до изоморфизма , Как получить явный изоморфизм (явно определенный) между любыми двумя неабелевыми алгебрами Ли размерности$2$, Двумерная алгебра Ли , Двумерная алгебра Ли - что мы знаем, не зная скобки? )

  7. Позволять $k$ быть любым полем характеристики $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ алгебра Ли бесследных $2 \times 2$-матрицы (со скобкой Ли, как в примере 3). Позволять$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ («разделенная форма $\mathfrak{so}_3$") также со скобкой Ли, заданной коммутатором матриц. Найдите изоморфизм между этими двумя алгебрами Ли. (Сравните Алгебры Ли$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ и $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Прямое доказательство того, что$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Явный изоморфизм между трехмерной ортогональной алгеброй Ли и специальной линейной алгеброй Ли размерности$3$ и ссылки там.)

  8. Позволять $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (трехмерное вещественное подпространство $2 \times 2$комплексные матрицы); убедитесь, что снова со скобкой Ли, заданной коммутатором матриц (как в примере 3), это алгебра Ли. Показать, что он изоморфен$\mathbb R^3, \times$т.е. трехмерная вещественная алгебра Ли со скобкой Ли, заданной перекрестным произведением. (Сравните, почему существует фактор$2$ в изоморфизме $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Похоже, это то, на что вы ссылаетесь в вопросе.)

  9. Найдите изоморфизм между $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ и кососимметричный $4\times 4$ матрицы над $\mathbb C$. (См. Явный изоморфизм четырехмерной ортогональной алгебры Ли и прямой суммы специальных линейных алгебр Ли размерности 3. )

  10. Найдите изоморфизм между прямой суммой кососимметричных $3 \times 3$ реальные матрицы с собой, а$4 \times 4$вещественные кососимметричные матрицы. (См. Изоморфизм между$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ и $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

  11. Для $\mathfrak g$вещественная алгебра Ли, скалярное расширение / комплексификация $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ является комплексной алгеброй Ли со скобкой Ли, заданной билинейным расширением $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Легко: показать, что усложнение$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ изоморфен $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Сложнее: для$\mathfrak{su}_2$ как определено в примере 8, показать, что комплексификация $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ также изоморфен $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Бонус: покажите, что, несмотря на это, настоящие алгебры Ли$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ и $\mathfrak{su}_2$являются не изоморфны друг другу. (Сравните Точная связь между усложнением$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ и $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Являются комплексификациями алгебры Ли$\mathfrak g_{\mathbb C}$ эквивалентны структурам алгебры Ли на $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? , и, вероятно, многие другие.)

Также попробуйте найти изоморфизмы алгебры Ли .