Проблема комбинаторики и вероятностная интерпретация

Question

Для гауссовской векторной переменной $w\sim N(0,I_{n\times n})$, моменты квадратичной нормы равны $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.

На основании теоремы Иссерлисом ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ также можно оценить как $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ где $\mathcal{P}([r])$ означает все разделы на множестве $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ это перегородка, $p$ один блок в разделе, $|\pi|$ а также $|p|$ количество блоков и количество элементов в блоке.

Теперь рассмотрим вариант вышеупомянутой задачи. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ Приведенная выше формула отличается только от моментов квадрата нормы гауссовской векторной переменной с коэффициентом $\frac{1}{2}$. Существует ли аналогичное решение конечного произведения и вероятностная интерпретация для приведенной выше формулы?

Answer 1

Исправить $n$. Позволять$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ Позволять $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Согласно композиционной формуле (теорема 5.1.4 перечислительной комбинаторики , том 2), вам нужно число$r!$ умноженный на коэффициент $x^r$ в $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Вы можете расширить это с помощью биномиальной теоремы, а затем разложить каждый член в степенной ряд, чтобы получить формулу для вашего числа в виде суммы с $n$ термины.