Проблема почти всюду сходимости в теории меры

Dec 04 2020

У меня проблемы со следующей проблемой

Позволять $(X, \mathcal{F}, \mu)$ пространство меры, где $\mu (X)<\infty.$ Позволять $f,f_n:X \to \mathbb{C}$быть измеримыми. Набор$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ где $a_n>0$ и $a_n \to 0$. Покажи это, если$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ тогда $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

Я много пытался решить эту проблему. Например, я пытался показать, что$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ для всех $\varepsilon>0$ используя факты как $\mu(A_n) \to 0$ (поскольку ряд сходится) и даже суммируя, что $(a_n)$можно было принять строго декрасив. В своей «более близкой» попытке я показал, что каждый$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ содержится в бесконечно многих множествах $A_n$. Но в конце концов это не сработало.

При каждой попытке я думал: «Я очень близок к решению» ... но что-то не получалось.

Не могли бы вы помочь мне решить эту проблему?

Ответы

4 WhoKnowsWho Dec 04 2020 at 08:35

Сначала заметим, что множество, где $f_n$ не сходится к $f$ измеримо и может быть записано как $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

Теперь обратите внимание, что показ $f_n\to f$ почти везде эквивалентно показать, что $A$ имеет меру $0.$ Для этого сначала заметим, что $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

поскольку $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ конечно, выбирая $k$ большой, мы можем сделать $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$произвольно маленький. Это следует из того$\mu(A)=0.$