Проблема с направленными углами, сумма которых равна ${\pi \over 2}$.

Aug 18 2020

Я решал раздел своей книги (EGMO Lemma 1.30), где автор обсуждает использование направленных углов, когда я наткнулся на:

Точки $A, B, C$ лежать на круге с центром $O$. Покажи то$\measuredangle$ $OAC$ знак равно $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.

Обозначим направленный угол с $\measuredangle$.(везде)

Вот попытка; автор говорит о направленных углах синим цветом, и следует показать, что они составляют половину$\pi$радианы. Линии красного цвета - моя собственная конструкция.

По направленным углам мы знаем, что $\measuredangle$ $CBA$ знак равно $\measuredangle$ $CXA$ знак равно ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(теорема о вписанном угле).
А также что$\measuredangle$ $OAC$ знак равно $\measuredangle$ $ACO$ (треугольник $OAC$ равнобедренный).

Теперь по теореме о направленных углах $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Но после этого, поскольку мы работаем по модулю $\pi$ радианы, непонятно умножить или разделить на $2$, что я должен сделать, поэтому моя попытка не удалась.

К счастью, ответы приветствуются.

Ответы

1 AnindyaPrithvi Aug 18 2020 at 23:34

По направленным углам мы знаем, что $\measuredangle$ $CBA$ знак равно $\measuredangle$ $CXA$ знак равно ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(теорема о вписанном угле).
А также что$\measuredangle$ $OAC$ знак равно $\measuredangle$ $ACO$ (треугольник $OAC$ равнобедренный).

Теперь по теореме о направленных углах $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

После этого мы можем написать $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ и заменить $\measuredangle$ $COA$ в виде $2\times \measuredangle$ $CBA$

Мы получили, $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

что эквивалентно записи как $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

Разделите обе стороны на $2$, и продолжаем получать $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ знак равно $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$

using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)

Значит доказано.