Псевдообратная диагональная матрица

Question

Пусть матрица $A \in \Bbb R^{n \times n}$ имеют $k$ диагональные элементы, где $k < n$, а остальные элементы равны нулю. Я пытаюсь найти псевдообратное$A + \lambda I$ когда $\lambda$ приближается к нулю.

потом $\frac{1}{a_i + \lambda}$ будет диагональными элементами для $i$ переход от 1 к $k$ псевдообратного и $\frac{1}{\lambda}$будут остальные диагональные элементы. Если я положу$\lambda$ равным нулю, то псевдообратной матрицей будет матрица с элементами $A$матрица перевернута, но элементы будут уходить в бесконечность. Но это звучит неправильно. Что не так в этой логике?

Answer 1

Проблема в том, что псевдообратная функция не является непрерывной функцией на пространстве матриц, как вы показали. Рассмотрим 1d-матрицу$(x)$ для $x\in\mathbb R$. Тогда псевдообратное отображение есть$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$Это не является непрерывным в нуле, и поэтому мы не ожидаем, что он сохранит предел элемента до нуля. То же самое происходит с вашим примером, когда мы ограничиваемся ядром$A$.