Путаница по поводу леммы Йонеды
Позволять $C$ быть категорией и $F$ предпучка на $C$. Лемма Йонеды утверждает, что естественные преобразования$C(-, A)\Rightarrow F$ находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами $F(A)$.
Мне это утверждение кажется немотивированным. Я знаю, что если рассматривать частный случай$F=C(-, B)$, то (по лемме Йонеды) $C(-, -)$ дает вложение (то есть полный и точный функтор) $C$ в категорию предпучков на $C$. Это кажется вполне мотивированным, поскольку встраивание$C$ в категорию предпучков на $C$ немного похоже на встраивание поля $k$ в его алгебраическое замыкание $\bar{k}$. Более того, категория предпучков также кажется более конкретной, чем абстрактная категория.$C$.
Но почему интересует общее утверждение, где $F$может быть любой предпучкой. Почему это естественное заявление? Как возникает идея рассмотреть лемму Йонеды, как указано выше?
У меня есть еще один вопрос по лемме Йонеды. Как я уже сказал, есть вложение$C$ в $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (категория предпучков на $C$). Рассматривая ковариантные функторы$C\to\mathbf{Sets}$ вместо предварительных пучков можно также доказать ковариантную версию леммы Йонеды, которая утверждает, что естественные преобразования $C(A, -)\Rightarrow F$ (за $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ любой функтор) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами $F(A)$. Из этого получается вложение$C$ в $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.
Подводя итог, можно вставить $C$ в оба $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ и $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. Вопрос: Как сделать$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ и $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ относятся друг к другу?
Что мне кажется немного странным в этой ситуации: сначала я ожидал $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ и $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$быть эквивалентным. Но общий факт в том, что$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ таким образом $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ который не $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.
Ответы
Вот один из возможных ответов на этот вопрос.
Возьмем точку зрения, что функторы представляют собой категории.
Во-первых, почему это разумно?
Что ж, напомним, что категории являются обобщениями моноидов (а следовательно, и групп), поскольку категория одного объекта - это то же самое, что моноид. Если$M$ является моноидом, то мы можем определить категорию, $C$, с одним объектом, $*$, набор hom $C(*,*)=M$, а также единица и состав, заданные единицей и умножением в $M$. И наоборот, учитывая одну категорию объекта$C$, $C(*,*)$ является моноидом с композицией как умножением, и эти конструкции обратны друг другу.
Отныне, если $M$ моноид, или $G$ это группа, напишу $BM$ или же $BG$ для соответствующей категории одного объекта.
А как насчет функторов? Ну что такое функторы$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?
Что ж, нам нужно выбрать векторное пространство $V$ отправлять $*$ к, и нам нужно выбрать гомоморфизм моноида $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. поскольку$G$ группа, это эквивалентно гомоморфизму групп $G\to \operatorname{GL}(V)$. Другими словами, функторы из$BG$ к $k\Vect$ точно такие же, как представления линейных групп, и вы можете проверить, что естественные преобразования функторов точно соответствуют $G$-эквивариантные линейные отображения.
Аналогично, когда мы заменяем $k\Vect$ с участием $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$, или же $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, мы получили $G$-модули и $G$-установки соответственно.
Конкретно это все осталось $G$-действия, поскольку функтор $F:BG\to \Set$ должен сохранять композицию, поэтому $F(gh)=F(g)F(h)$, и мы определяем $g\cdot x$ по $F(g)(x)$. Таким образом$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.
Контравариантный функтор $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ дает право $G$-Действие, с настоящего момента $F(gh)=F(h)F(g)$, поэтому, если мы определим $x\cdot g = F(g)(x)$, то имеем $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$
Таким образом, мы должны думать о ковариантных функторах $[C,\Set]$ как осталось $C$-действия в $\Set$, и мы должны думать о контравариантных функторах $[C^\op,\Set]$ как правильно $C$-действия в $\Set$.
Лемма Йонеды в контексте
Представимые предварительные пучки теперь соответствуют свободным объектам в одной переменной в следующем смысле.
Лемма Йонеды состоит в том, что у нас есть естественный изоморфизм $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$
Другими словами, $C(-,A)$ очень похож на левый, сопряженный с "забывчивым" функтором, который отправляет предпучок $F$ к его оценке в $A$, $F(A)$, но оценивается на синглтон-наборе $*$.
Фактически, мы можем превратить $C(-,A)$ в полное левое сопряжение, отметив, что $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ и $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.
Таким образом, один из способов сформулировать лемму Йонеды состоит в том, что $S\mapsto S\times C(-,A)$ остается рядом с оценкой на $A$функтор (в том смысле, что эти два утверждения эквивалентны посредством краткого доказательства). Кстати, к оценке тоже есть правая$A$функтор, аргументы см. здесь .
Связав это с более знакомыми понятиями
Первое, на что следует обратить внимание с этой точки зрения, - это то, что теперь у нас есть понятие «свободный от объекта», а не просто «свободный». Т.е. я склонен думать о$C(-,A)$ как свободный предпучок в одной переменной на $A$ (это не стандартная терминология, как я думаю).
Теперь мы должны быть осторожны, свободный объект - это не просто объект, это объект и основа . В этом случае наш базис (элемент, который свободно порождает предпучок) является тождественным элементом$1_A$.
Если подумать об этом таким образом, можно надеяться, что доказательство леммы Йонеды будет более интуитивным. В конце концов, доказательство леммы Йонеды таково:
$C(-,A)$ генерируется $1_A$, поскольку $f^*1_A=f$, для любой $f\in C(B,A)$, поэтому естественные преобразования $C(-,A)$ к $F$ однозначно определяются тем, куда они отправляют $1_A$. (Аналогично высказыванию$1_A$ пролеты $C(-,A)$). Причем любой выбор$\alpha\in F(A)$ откуда отправить $1_A$ действительно, поскольку мы можем определить естественное преобразование, "продолжая линейно" $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (это аналогично высказыванию $1_A$ линейно независима или образует основу).
Ковариантная версия леммы Йонеды - это точно такая же идея, за исключением того, что сейчас мы работаем с левыми представлениями нашей категории.
Примеры леммы Йонеды в более знакомых контекстах
Рассмотрим одну категорию объекта $BG$, то лемма Йонеды утверждает, что правильное регулярное представление $G$ это свободное право $G$-установлен в одной переменной (базовым элементом является тождество, $1_G$). (Бесплатный в$n$-переменные - это несвязное объединение $n$ копии правильного регулярного представления.)
Заявление о встраивании теперь таково: $G$ может быть встроен в $\operatorname{Sym}(G)$ через $g\mapsto -\cdot g$.
Это также работает в расширенных контекстах. Кольцо - это в точности категория одного объекта, обогащенная абелевыми группами, и лемма Йонеды в этом контексте говорит, что правильное действие$R$ на себе (часто обозначается $R_R$) это свободное право $R$-модуль с одной переменной, в основе которого лежит элемент unit $1_R$. (Бесплатный в$n$-переменные теперь представляют собой прямую сумму $n$ копии $R_R$)
Заявление о вложении здесь таково, что $R$ может быть вложено в кольцо эндоморфизмов соответствующей абелевой группы с помощью $r\mapsto (-\cdot r)$.