Ранг элемента в общем расширении по сравнению с рангом его имени

Dec 04 2020

Иногда я вижу, что в некоторых аргументах используется следующий факт:

предположить $M[G]$ является общим расширением $M$ принуждением $\mathbb P$ и предположим $x\in M[G]$ имеет звание $<\gamma$, где $\gamma$ это некоторый предельный порядковый номер выше ранга$(\mathbb{P})$. Тогда есть имя$\tau\in M^\mathbb{P}$ такой, что $\tau_G=x$ и $\tau$ имеет звание $<\gamma$.

Например, этот факт используется в « Основной аксиоме» Райца при доказательстве определимости базовой модели в конце первого абзаца доказательства леммы 7.1.

Но я не знаю, как это доказать. Любая помощь приветствуется!

Добавлено после редактирования: если дополнительно предположить, что $\gamma$ это $\beth$-фиксированная точка (эквивалентно, $H_\gamma=V_\gamma$. Это верно в частном случае из леммы 7.1, упомянутой выше), то я думаю, что следующий аргумент работает.

Индукцией по рангу покажем, что если $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, то есть имя $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ такой, что $\sigma_G=x$. Итак, предположим, что это верно для всех наборов более низких рангов, чем$x$. Следовательно, каждый$y\in trcl(x)$ есть имя $n(y)$ чей ранг ниже, чем $\gamma$. Теперь, собирая все эти имена, позвольте$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$. поскольку$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, мы знаем $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$. Это также означает, что$|z|=\kappa$. Все предыдущие утверждения о мощности имеют смысл$M[G]$, и мы фиксируем сюръекцию $f:\kappa\to z$ в $M[G]$.

Позволять $\rho$ быть именем для $x$ и $\tau$ быть именем для $z$. По лемме истинности мы можем исправить некоторые$p\in G$ такой, что $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$

Затем мы переходим к определению нашего низкорангового имени. $\sigma$ для $x$. Для каждого$\alpha<\kappa$, пусть

$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ Другими словами, $X_\alpha$ собирает эти условия ниже $p$ что заставит (оценку) элемента в $z$ быть элементом $x$.

Теперь для каждого $X_\alpha$, зафиксируем максимальную антицепь $A_\alpha$что он пересекается. Для каждого$\alpha<\kappa$ и $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$, существует некоторое $\mathbb P$-имя $v(\alpha,q)$ такой, что $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$. Теперь мы можем определить имя$\sigma$ быть $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ потом $\sigma$ это имя в $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$, и $p\Vdash \sigma=\rho$.

Второе редактирование: похоже, что у особого случая, описанного выше, есть дубликат (?). Тем не менее, мне все равно было бы интересно посмотреть, как аргументировать цитируемое более сильное утверждение.

Ответы

2 HanulJeon Dec 06 2020 at 04:05

Я буду работать над $V$ вместо того $M$. Я думаю, что следующее доказательство работает$\mathsf{ZFC^-}$ (т.е. $\mathsf{ZFC}$ без Power Set и с коллекцией и принципом хорошего заказа) с наличием $\mathcal{P}(\mathbb{P})$. (Особенно, это держится$M=H_\theta$ для больших регулярных $\theta$.)

Лемма. Позволять$x\in V^\mathbb{P}$ быть таким именем, что $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ и $\gamma$ быть порядковым номером больше, чем $\operatorname{rank}\mathbb{P}$. Если$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$, то есть $\tau\in V^\mathbb{P}$ такой, что

  • $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$, и

  • $\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$, где $\gamma=\gamma_0+n$ для некоторого предела $\gamma_0$ и $n\in\omega$.

Позвольте мне ввести некоторые обозначения для ординалов: для каждого ординала $\alpha$, $\alpha^*$ и $\alpha^@\in\omega$ быть ординалами такими, что $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ и $\alpha^*$ - предельный порядковый номер.

Я буду использовать индукцию по рангу $x$. Без ограничения общности можно считать, что

  1. если $(y,q)\in x$ тогда $q\le p$, и

  2. (Близость вниз), если $(y,q)\in x$ и $r\le q$, тогда $(y,r)\in x$

заменив $x$ к $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ поскольку $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$, у нас есть $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$.

Тогда для каждого $(y,q)\in x$, $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$. Найдите максимальную антицепь$A_{y,q}$ ниже $q$ который определяет стоимость или $\operatorname{rank}y$; то есть, если$r\in A_{y,q}$ тогда есть порядковый номер $\beta_{y,q,r}<\gamma$ такой, что $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$.

По индуктивному предположению можно найти $\tau_{y,q,r}$ такой, что $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ и $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ Теперь возьми $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ Тогда мы можем доказать $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$. Осталось проверить ранг$\tau$. Мы это видим$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$

  1. Случай 1. Если $\gamma$ - предельный ординал, то правая часть строго меньше, чем $\gamma$. Следовательно$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$.

  2. Случай 2. Если $\gamma=\gamma_0+n$ для некоторого предела $\gamma_0$ и $1\le n<\omega$, тогда $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ Следовательно, соответствующие $\beta_{y,q,r}$ удовлетворяет $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$, и поэтому $\tau_{y,q,r}$ удовлетворяет $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ Остающийся аргумент прямой, и мы имеем $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$.