Разложение морфизма с положительными размерными слоями
Хорошо известно, что любой бирациональный морфизм между проективными многообразиями - это последовательность раздутий. Предположим теперь, что у меня есть морфизм$f:X \to Y$ со слоями положительной размерности, то есть проективное расслоение над открытым подмножеством $Y$. Мы даже можем предположить$Y$гладко, даже если я не думаю, что это необходимо. Это все еще правда, что$X$ является раздутием проективного расслоения на $Y$?
Ответы
Публикую свой комментарий в качестве ответа. Это уже не для относительного измерения$1$ когда базовая схема имеет размер $n$ по крайней мере $3$.
Позволять $k$быть полем. Позволять$n\geq 3$быть целым числом. Обозначить$\text{Proj}\ k[x_0,x_1,x_2, \dots,x_n]$ от $\mathbb{P}^n_k$. Обозначить$\text{Proj}\ k[y_0,y_1,y_2]$ от $\mathbb{P}^2_k$. Обозначим через$X$ гиперповерхность в $\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k$ с биоднородным определяющим уравнением, $$f=x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2.$$ Проекция от $X$ к $\mathbb{P}^2_k$ является локально-тривиальным проективным пространственным расслоением по Зарисскому относительной размерности $n-1$. Особенно,$X$ гладкий $k$-схема. По теореме Гротендика-Лефшеца о группах Пикара из SGA 2 гомоморфизм ограничения групп Пикара является изоморфизмом,$$\text{res}:\text{Pic}(\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k) \xrightarrow{\cong} \text{Pic}(X).$$ Конечно, первая группа Пикарда $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$. Более того, nef-конус в первой группе Пикара равен$\mathbb{Z}_{\geq 0}\times \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Один из способов увидеть это - рассмотреть ограничение обильных обратимых пучков линейными рациональными кривыми («прямыми») в слоях каждой проекции. Поскольку закрытая подсхема$X$ содержит такие прямые, то изоморфизм ограничения также индуцирует изоморфизм nef-конусов.
В частности, обильный конус $X$ равно $\mathbb{Z}_{>0}\times \mathbb{Z}_{>0}$, так что необильные дивизоры nef находятся на «границе» конуса nef, т. е. $$\{(0,0)\}\sqcup \left(\mathbb{Z}_{>0}\times \{0\}\right) \sqcup\left( \{0\}\times \mathbb{Z}_{>0}\right). $$ Обратимый пучок в первом компоненте этого разбиения границы - это просто структурный пучок, а связанное с ним сжатие $X$ постоянная $k$-морфизм в $\text{Spec}\ k$. Второй компонент дает проекцию на$\mathbb{P}^2_k$, а третий компонент дает проекцию на $\mathbb{P}^n_k$. Поскольку ни одно из этих сжатий не является бирациональным, отсюда следует, что$X$ не является раздутием какой-либо проективной схемы, кроме как «раздутие», которое является изоморфизмом.
Таким образом, проекционный морфизм из $X$ к $\mathbb{P}^n$не учитывается через нетривиальный взрыв. Ограничение этой проекции является плоским над замкнутой подсхемой$\text{Zero}(x_0,x_1,x_2)$, и ограничение является плоским на открытом дополнении этой замкнутой подсхемы. Однако размер волокна по замкнутой подсхеме равен$2$, а размер волокна над открытой подсхемой равен $1$. Таким образом, эта проекция не является проективным пространственным расслоением, хотя это проективное пространственное расслоение относительной размерности.$2$, соотв. относительного измерения$1$, при ограничении по замкнутой подсхеме, соответственно. по открытой подсхеме.