Реконструкции групп из категории $G-\mathbf{Sets}$; Построение группового гомоморфизма [дубликат]

Dec 30 2020

Я пытаюсь найти доказательство следующего утверждения, но мне это немного сложно. Я надеюсь, что мне удастся получить помощь от кого-нибудь на этом сайте. Я думаю, это то, что они дают доказательство на Ncatlab - Tannakian Duality (в разделе$G-\mathbf{Sets}$). Но я не могу понять это доказательство:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Утверждение. Позволять$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ быть забывчивым функтором, где $G-\mathbf{Sets}$ - категория множеств, оснащенных групповым действием группы $G$. Я пытаюсь понять доказательство следующего факта$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

Что я сделал

Мне удалось построить карту $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Это было сделано по следующему правилу $\varphi(g)=\eta^g$, где $\eta_S^g:S\to S$ определяется $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. Несложно проверить, что это дает естественное преобразование из$F$ к $F$ и что это также гомоморфизм групп.

Однако для меня другой путь более проблематичен. Я хочу найти карту$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ То есть при естественном превращении $\eta$, Я хочу назначить его элементу группы $g\in G$.

Естественная трансформация $\eta$ определяется следующей коммутативной диаграммой $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ где $\eta_X$ это морфизм в $\mathbf{Sets}$ и $f:X \to Y$ является морфизмом в категории $G-\mathbf{Sets}$. поскольку$F$ просто забывчивый функтор, приведенная выше диаграмма сводится к $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Проблемы и вопросы

В определении естественного преобразования - у меня это есть - при любом $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$это морфизм. Естественный$G-\text{Set}$ просто взять $X=G$ и позволить ему действовать на себя через структуру группы: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Итак, коммутативная диаграмма теперь принимает вид $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Замечание 1. Помню, один профессор сказал мне, что морфизм$\eta_G$ полностью понимается тем, что он делает с элементом идентичности $e\in G$ (из которого я должен понять, как построить гомоморфизм группы), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Я действительно не понимаю, что означает вышесказанное. Думаю, я что-то неправильно понял в функторе забывчивости. Когда я думаю о забывчивом функторе$F:A\to B$, Я думаю, что функтор забывает все, что есть в $A$, но отсутствует в $B$. В нашем случае забывается структура групповых действий. И поэтому, в частности, я не могу использовать свойство быть$G$-эквивариантное отображение. Только свойства быть теоретико-множественной картой.

Вопрос 1.

Если $\eta_G(e)=s$, и если бы я хотел разобраться в том, что сказал мне профессор, я бы рассуждал следующим образом $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$где I во втором равенстве использовал свойство быть гомоморфизмом групп. Но с другой стороны, если я хочу рассматривать это как групповой гомоморфизм, то я думаю, что должен был сделать это с самого начала. Это,$\eta_G$должны сопоставлять идентичности с идентичностями (чтобы мои рассуждения были последовательными). Так что я думаю, что мой аргумент несостоятельный.

Мой вопрос: что он имеет в виду?

Я не думаю, что то, что я сделал выше, имеет смысл. Но я думаю, что видел, как другие использовали свойства морфизмов в категории$A$, после применения функтора забывчивости, отсюда и мои рассуждения. Еще раз, я не совсем уверен, что делаю. Так что я вполне могу ошибаться.

Вопрос 2. Как это говорит мне, где отобразить естественное преобразование?

Учитывая $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, где мне это сопоставить? Могу ли я сопоставить это следующим образом$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Знаю ли я, что при этом исчерпывающе сказал, где отображать каждое естественное преобразование?

Вопрос 3. Полагаю, мне также каким-то образом нужно использовать коммутативную диаграмму в определении естественного преобразования, когда я строю гомоморфизм групп, чего я не делал? Я думаю, что мое предложение выше - неправильный способ сделать это. У вас есть идеи, как я могу построить карту?

Я был бы очень рад, если бы кто-нибудь на этом сайте помог мне лучше понять это. Потому что я действительно потерян и сбит с толку.

С наилучшими пожеланиями,

Джоэл

Ответы

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

Я собираюсь использовать левую $G$-наборы, не правильно.

Вопрос 1 и 3 .

Ты не можешь писать $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, мы не предполагаем $\eta_G:G\to G$ является гомоморфизмом групп, только то, что это морфизм $G$-наборы. Вы можете это сказать$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ хотя (который вы бы изменили, если настаиваете на правильных групповых действиях).

Снова рассмотрим свою коммутативную диаграмму:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Здесь мы можем позволить карте $G\to Y$ быть оценкой на-$y$ карта $g\mapsto gy$ где $y\in Y$ фиксировано (обратите внимание, что оценочная карта также полезна при установлении теоремы о стабилизаторе орбиты - ее слои являются смежными классами $y$стабилизатор). Затем гонимся за диаграммой, начиная с$e\in G$ в верхнем левом углу.

Если мы пойдем по верхнему правому пути, мы получим $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. В левом нижнем углу$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Поэтому мы можем приравнять$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. То есть каждый автоморфизм$\eta$ применяется к $G$-набор $Y$ просто применяет определенный элемент группы $\eta_G(e)\in G$.