Решение рекурсии по аналогии с дифференциальным уравнением

Question

Я столкнулся с этой проблемой:

---

Пусть последовательность $u_n$ определяться его первым сроком $u_0 > 0$ и $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Найдите асимптотическую формулу для $u_n$.

---

Я думал, что можно решить его по аналогии с уравнением $$f' = \frac{1}{f}$$ что дает асимптотическую формулу $u_n \sim \sqrt{2 n}$, и это действительно правильный ответ.

В более общем плане мы берем $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, каковы были бы условия на непрерывную положительную убывающую функцию $f$ такие, что метод аналогии с дифференциальным уравнением дает правильную асимптотическую формулу?

Большое спасибо !

Answer 1

Как указано в комментарии ниже, этот ответ неверен

---

Предположим, что $y$ является решением дифференциального уравнения $y' = f(y)$, и $u_n$ решает повторение $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ с участием $u_0 = y(0)$. По теореме о среднем значении находим, что для всех$n$, существует $c \in [n,n+1]$ для которого $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Потому как $f$ убывает, имеем $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Теперь предположим, что $w_n$ удовлетворяет $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, и $w_0 = y(1)$. Индуктивно находим, что$u_n \leq y(n) \leq w_n$. В частности, мы считаем, что если неравенство выполнено для$n = k$, тогда $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ и неравенство $y(k+1) \geq u_{k+1}$ можно увидеть аналогично.

Из этого можно сделать следующий вывод: если $f$ такова, что повторение $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ имеет одинаковую асимптотику для всех $u_0 > 0$, то асимптотика последовательности $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ генерируется из решения $y' = f(y)$ с участием $y(0) > 0$ подобные.