Решение связанной системы линейных ОДУ (одно второго порядка, другое первого порядка)
У меня есть два связанных ODE для $T(x)$ и $t(x)$:
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
$\alpha, \beta$ и $K$ константы $>0$. Также известно, что$t(x=0)=t_i$. Дополнительно для$(1)$ мы знаем:
$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$
Мне нужно определить $T(x)$ и $t(x)$. Может ли кто-нибудь предложить способ решения этой проблемы?
Возможно, эту систему связанных уравнений можно решить матричным методом, но мне это неизвестно. Я обычно решаю одно уравнение, используя метод интегрирования множителей или характеристическое уравнение и нахожу корни.
Ответы
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
ПОДСКАЗКА:
Из $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$
$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$
Помещая их в $(1)$ :
$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$
$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$Это линейное ОДУ с постоянными коэффициентами. Полагаю, вы можете взять это отсюда.
Подсказка:
Замена $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ в $(1)$ :
$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$
Затем решите для $\frac{dt(x)}{dx}$.