S-унитальные компактные кольца проконечны
Хорошо известно , что бикомпакты топологические униталъные кольца проконечные. Доказательство обобщается на (левые или правые) s-унитальные кольца (т. Е. Такие кольца, что для всех$r\in R$ у нас есть $r\in Rr$ или для всех $r\in R$ у нас есть $r\in rR$).
Есть ли ссылка на этот более общий факт? Есть ли дальнейшее обобщение (т.е. интересный класс колец, содержащий s-унитальные кольца, для которых из компактного Хаусдорфа следует проконечность)?
(Обратите внимание, что это верно не для всех колец, как для любой компактной хаусдорфовой абелевой группы $A$, мы можем пожертвовать $A$ с нулевым умножением, что делает его компактным топологическим кольцом Хаусдорфа.)
Ответы
По существу, ответ на этот вопрос содержится в одном из ответов на вопрос: Всякое ли компактное топологическое кольцо является проконечным кольцом? .
Если компактное кольцо $R$ либо не допускает никаких элементов $r\neq 0$ с участием $rR=0$или двойственное лево-правое условие, тогда оно бесконечно. Это условие, при котором отображение умножения индуцирует и вложение$R$ в эндоморфизмы двойственного по Понтрягину аддитивной группы, которую вы используете для доказательства полной несвязности.
См. Теорию 3 в «Компактных топологических кольцах». Хиротада Анзайhttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244