Шаг в доказательстве сумм Римана из исчисления Спивака.

Question

Я работал над доказательством в «Исчислении Спивака» (2008) - стр. 279 . Ниже приведен снимок экрана с частью доказательства, с которым у меня возникли проблемы.

Мой вопрос в том, чтобы правильно скомбинировать шаги 1,2 и 3. Я хочу прибыть в

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

Повозившись с уравнением 2, я получил бы что-то вроде

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

То же самое произойдет и с $\int_{a}^{b}f(x) dx$. Теперь, используя эту идею, я получаю что-то вроде:

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

Вот моя проблема, я не могу точно сказать, что $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. Ничто из того, что у меня есть, не может подразумевать такого, и в результате я не могу сделать вывод, что$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. Что позволило бы мне завершить эту часть доказательства. По опыту я знаю, что я упускаю небольшую алгебраическую вещь, но полагаю, что я морально утомлен и не вижу этого. Некоторая помощь была бы хороша.

Answer 1

Подсказка : умножьте уравнение$(3)$ по $-1$ и добавить к уравнению $(2)$ получить:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
Другими словами, у нас есть $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$откуда $|y|\lt \epsilon$

Answer 2

$(2)$ и $(3)$ означает, что сумма и интеграл находятся между $L(f,P)$ и $U(f,P)$ поэтому абсолютная разница между ними не может быть больше, чем $U(f,P)-L(f,P)$ и по $(1)$ это последнее выражение меньше, чем $\epsilon.$